বহুপদী সংখ্যামালা ( Polynomial )
বহুপদী সংখ্যামালা সম্পর্কে জানতে হলে আমাদের তার আগে কয়েকটি বিষয় সম্পর্কে জানতে হবে।
- সহগ ( Coefficient )
- পদ ( term ) এবং রাশি ( Expression )
সহগ ( Coefficient ) : সহগ হল কোনো বীজগাণিতিক রাশির উৎপাদক। কোনো বর্ণ বা অক্ষর দিয়ে সহগ গঠিত হলে তাকে বর্ণমূলক সহগ ( Literal Coefficient ) বলে। আবার কেবলমাত্র সংখ্যা দিয়ে সহগ গঠিত হলে তাকে বলে সংখ্যামূলক সহগ ( Numerical Coefficient ) .
যেমন [tex]2ab{x^2}[/tex] বীজগাণিতিক পদটিতে 2 হল [tex]ab{x^2}[/tex] এর সংখ্যামূলক সহগ। 2a হল [tex]b{x^2}[/tex] এর সহগ এবং 2ab হল [tex]{x^2}[/tex] এর সহগ। আবার bcx পদটিতে bc হল x এর বর্ণমূলক সহগ।
সহগ সাধারণত কোনো পদের বাঁদিকে লেখা হয় , যদি কোনো পদে সহগের উল্লেখ না থাকে , তবে সহগ হিসাবে 1 ধরতে হয়। যেমন [tex]{x^3}[/tex] এর সহগ 1 কিংবা [tex]{a^2}[/tex] এর সহগ হল 1 .
পদ ( term ) এবং রাশি ( Expression ) : পদ হল একটি সংখ্যা বা চলরাশি বা একাধিক সংখ্যা এবং চলরাশির গুণিতক। এক বা একাধিক পদ যদি যোগ বিয়োগ চিহ্ন দ্বারা মিলিত হয় তাকে রাশি বলে।
যেমন [tex]{a^2} + ab - c[/tex] এই রাশিতে বিভিন্ন পদগুলি হল [tex]{a^2},ab,c[/tex] এরা যথাক্রমে যোগ এবং বিয়োগের মাধ্যমে [tex]{a^2} + ab - c[/tex] রাশিটি গঠন করেছে। আবার [tex]4{x^3} + 5xy - 15x{y^2}[/tex] এই রাশির বিভিন্ন পদগুলি হল [tex]4{x^3},5xy,15x{y^2}[/tex] এরা যথাক্রমে যোগ এবং বিয়োগের মাধ্যমে [tex]4{x^3} + 5xy - 15x{y^2}[/tex] রাশিটি গঠন করেছে।
বহুপদী সংখ্যামালা ( Polynomials ) : সকল বীজগাণিতিক সংখ্যামালা যাদের চলের সূচক অখন্ড সংখ্যা তাদের বহুপদী সংখ্যামালা ( Polynomials ) বলে
যেমন [tex]{x^2},{x^3} + 8,{x^7} + 5x + 8[/tex] ইত্যাদি এরা হল বহুপদী সংখ্যামালা কারণ এদের চল x এর সূচক গুলি অখন্ড। কিন্তু [tex]\sqrt x + 1,3{x^2} + \sqrt y ,{x^2} - \sqrt[3]{y}[/tex] ইত্যাদি বহুপদী সংখ্যামালা নয় কারণ এদের x এবং y চলের সূচক সর্বদা অখন্ড নয়।
বিভিন্ন প্রকার রাশিমালা ( Different types of Expression )
বীজগাণিতিক রাশিমালা ( Algebraical Expression ) দুইপ্রকার
- সরল রাশি ( Simple Expression ) বা এক পদীয় ( Monomial )
- জটিল রাশি ( Complex Expression )
জটিল রাশি ( Complex Expression ) আবার তিন প্রকার
- দ্বিপদরাশি ( Binomial )
- ত্রিপদরাশি ( Trinomial )
- বহুপদীয় রাশি ( Polynomial )
সরল রাশি ( Simple Expression ) বা এক পদীয় ( Monomial ) : কোনো বীজগাণিতিক রাশিমালাতে কেবলমাত্র একটি পদ থাকলে তাকে সরল রাশি বলে। যেমন , [tex]2x[/tex] , [tex]a \div b[/tex] , [tex]\frac{{4a \times 5c}}{b}[/tex] ইত্যাদি।
দ্বিপদরাশি ( Binomial ) : দুই পদযুক্ত রাশিমালাকে দ্বিপদরাশি ( Binomial ) বলে। যেমন , [tex]a + x[/tex] , [tex]2{x^2} + 3[/tex] , [tex]5\frac{x}{y} - {x^3}[/tex] ইত্যাদি।
ত্রিপদরাশি ( Trinomial ) : কোনো রাশিমালাতে তিনটি পদ থাকলে তাকে ত্রিপদরাশি ( Trinomial ) বলে। যেমন , [tex]a + b + c[/tex] , [tex]{x^4} + 5{y^2} - z[/tex] , [tex]2x - 3\frac{y}{z} + {x^3}[/tex] ইত্যাদি।
বহুপদীয় রাশি ( Polynomial ) : তিনটির বেশি পদ বিশিষ্ট রাশিমালাকে বহুপদীয় রাশি ( Polynomial ) বলে। যেমন , [tex]{x^3} + 3xy - z + 5x{y^2}[/tex] , [tex]5{z^2} + 3{y^2} - {x^3}{z^3} - {y^4}xz + 7xyz[/tex] ইত্যাদি।
মনে রাখতে হবে 8 , 1 , -5 , 10 ইত্যাদি এরাও কিন্তু বহুপদী সংখ্যামালা এদেরকে ধ্রূবক বহুপদী সংখ্যামালা ( Constant Polynomial ) বলে। কিন্তু (0) শূন্য কে শূন্য বহুপদী সংখ্যামালা ( Zero Polynomial ) বলে।
অপেক্ষক এবং চলমানরাশি ( Function and Variables ) :
কোনো বর্ণ দিয়ে প্রকাশিত বীজগাণিতিক রাহিমালাকে ওই বর্ণের অপেক্ষক বলা হয় এবং ওই বর্ণটিকে ওই অপেক্ষকের চলমান রাশি বলা হয়। অর্থাৎ অপেক্ষক নির্ণয়কারী বর্ণকেই চলমান রাশি বলা হয়।
যেমন , [tex]{x^2} + 2x + 1[/tex] এই রাশিকে x এর অপেক্ষক বলা হয়। আবার x হল এই অপেক্ষকের চলরাশি।
[tex]{x^3} + 3{x^2}y - 3x{y^2}[/tex] এই রাশিকে x এবং y এর অপেক্ষক বলা হয়। আবার x এবং y হল এই অপেক্ষকের চলরাশি।
অপেক্ষক সাধারণত প্রকাশ করা হয় [tex]f\left( x \right),g\left( x \right),\phi \left( x \right),\psi \left( x \right)[/tex] , [tex]f\left( {x,y} \right)[/tex]ইত্যাদি সংকেত দ্বারা।
অপেক্ষক প্রধাণত দুই প্রকার হয়
- অখন্ড অপেক্ষক ( Integral function )
- মূলদ অপেক্ষক ( Rational function )
অখন্ড অপেক্ষক ( Integral function ) : যে অপেক্ষকের চলরাশিগুলি হরে অবস্থান করে না তাকে অখন্ড অপেক্ষক বলে। যেমন [tex]{x^2} + 2x + 3[/tex]
মূলদ অপেক্ষক ( Rational function ) : যে অপেক্ষকের চলরাশিগুলির সূচক ভগ্নাংশ হয় না তাকে মূলদ অপেক্ষক বলে। যেমন [tex]{x^3} + 2{x^2} + 3y[/tex] , [tex]5{x^4} + 6x - 3{y^2}[/tex]
বহুপদীয় রশির ঘাত হল প্রদত্ত চলরাশিগুলির সর্বোচ্চ ঘাত বা মাত্রা ( degree )।
যেমন [tex]f\left( x \right) = 5{x^3} - 3x + 8[/tex] এই বহুপদী সংখ্যামালার মাত্রা হল 3 . আবার [tex]g\left( x \right) = 5{x^{15}} - 3{x^2} + 8[/tex] এই বহুপদী সংখ্যামালার মাত্রা হল 15 .
শূন্য ছাড়া যেকোনো বহুপদী সংখ্যামালার মাত্রা 0 . যেমন [tex]8 = 8{x^0}[/tex] , [tex] - 5 = - 5{x^0}[/tex] . কিন্তু শূন্য বহুপদী সংখ্যামালার মাত্রা অসংজ্ঞাত। যেহেতু [tex]0 = 0{x^0}[/tex] , [tex]0 = 0{x^{10}}[/tex] .
দুটি বহুপদীয় রাশির যোগফল , বিয়োগফল ও গুণফল সর্বদা বহুপদীয় রাশি হয়।
উদাহরণ : কোনো বিদ্যালয়ে ছাত্র ছাত্রীরা মোট [tex]\left( {{x^2} + 8} \right)[/tex] টি চারাগাছ লাগিয়েছে। কিন্তু শিক্ষক শিক্ষিকা ও অতিথিরা যথাক্রমে [tex]\left( {3{x^2} + 2x + 5} \right)[/tex] টি এবং [tex]\left( {{x^3} + 1} \right)[/tex] টি চারাগাছ লাগিয়েছে। তাহলে সবাই মিলে মোট কতগুলি চারাগাছ লাগানো হয়েছে
মনে করি [tex]f\left( x \right) = {x^2} + 8[/tex] , [tex]g\left( x \right) = 3{x^2} + 2x + 5[/tex] এবং [tex]h\left( x \right) = {x^3} + 1[/tex]
অতএব
[tex]\begin{array}{l}
f\left( x \right) + g\left( x \right) + h\left( x \right)\\
= {x^2} + 8 + 3{x^2} + 2x + 5 + {x^3} + 1\\
= {x^3} + 4{x^2} + 2x + 14
\end{array}[/tex]
সবাই মিলে মোট [tex]{x^3} + 4{x^2} + 2x + 14[/tex] টি চারাগাছ লাগানো হয়েছে।
উদারহণ : মনে করি [tex]f\left( x \right) = {x^2} + 8[/tex] এবং [tex]g\left( x \right) = 3{x^2} + 2x + 5[/tex] এই দুটি বহুপদী সংখ্যামালার বিয়োগফল নির্ণয় করতে হবে।
[tex]\begin{array}{l}
g\left( x \right) - f\left( x \right)\\
= \left( {3{x^2} + 2x + 5} \right) - \left( {{x^2} + 8} \right)\\
= 3{x^2} + 2x + 5 - {x^2} - 8\\
= 2{x^2} + 2x - 3
\end{array}[/tex]
দেখা যাচ্ছে তাদের বিয়োগফল একটি বহুপদী সংখ্যামালা
উদাহরণ : মনে করি [tex]f\left( x \right) = {x^2} + 8[/tex] এবং [tex]g\left( x \right) = 3{x^2} + 2x + 5[/tex] এই দুটি বহুপদী সংখ্যামালার গুণফল নির্ণয় করতে হবে।
[tex]\begin{array}{l}
g\left( x \right) \times f\left( x \right)\\
= \left( {3{x^2} + 2x + 5} \right) \times \left( {{x^2} + 8} \right)\\
= 3{x^2} \times \left( {{x^2} + 8} \right) + 2x \times \left( {{x^2} + 8} \right) + 5 \times \left( {{x^2} + 8} \right)\\
= 3{x^4} + 24{x^2} + 2{x^3} + 16x + 5{x^2} + 40\\
= 3{x^4} + 2{x^3} + 29{x^2} + 16x + 40
\end{array}[/tex]
উদাহরণ : y = 1 এর জন্য [tex]f\left( y \right) = {y^3} + 2y - 5[/tex] এর মান নির্ণয় কর
y = 1 , [tex]f\left( y \right) = {y^3} + 2y - 5[/tex] এই অপেক্ষকে বসিয়ে পাই
[tex]f\left( 1 \right) = {1^3} + 2 \times 1 - 5 = 1 + 2 - 5 = - 2[/tex]
একটি সংখ্যা c কে f(x) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য বলা হবে যদি f(c) = 0 হয়।
উদাহরণ : [tex]f\left( x \right) = 8 - x[/tex] এই বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য কি হবে ?
[tex]\begin{array}{l}
f\left( 1 \right) = 8 - 1 = 7\\
f\left( 2 \right) = 8 - 2 = 6\\
f\left( 3 \right) = 8 - 3 = 5\\
f\left( 4 \right) = 8 - 4 = 4\\
f\left( 5 \right) = 8 - 5 = 3\\
f\left( 6 \right) = 8 - 6 = 2\\
f\left( 7 \right) = 8 - 7 = 1\\
f\left( 8 \right) = 8 - 8 = 0
\end{array}[/tex]
দেখা যাচ্ছে x = 8 এর জন্য বহুপদী সংখ্যামালা শূন্য হবে।
বিকল্প পদ্ধতি :
[tex]f\left( x \right) = 8 - x[/tex] এই বহুপদী সংখ্যামালা শূন্য হলে x এর মান কি হবে তা নির্ণয় করি
[tex]\begin{array}{l}
8 - x = 0\\
\Rightarrow x = 8
\end{array}[/tex]
উদাহরণ : 6 এই বহুপদী সংখ্যার পদ শূন্য কি হবে তা নির্ণয় করি।
[tex]6 = 6{x^0}[/tex] দেখা যাচ্ছে x এর পরিবর্তে কোনো সংখ্যা বসালে 6 বহুপদী সংখ্যার পদ শূন্য পাবনা। কিন্তু এখানে [tex]x \ne 0[/tex] বসাতে হবে। কারণ [tex]{0^0}[/tex] হল অসংজ্ঞাত।
অতএব শূন্য ছাড়া কোনো ধ্রূবক বহুপদী সংখ্যার শূন্য নেই।
কিন্তু শূন্য বহুপদী সংখ্যার শূন্য কী হবে ?
প্রত্যেক বাস্তব সংখ্যার শূন্য বহুপদী সংখ্যার শূন্য। কারণ 0 কে লেখা যায় [tex]0 \cdot {x^3}[/tex] . x এর পরিবর্তে যেকোনো বাস্তব সংখ্যা বসালে [tex]0 \cdot {x^3}[/tex] এর মান শূন্য হবে। যেমন [tex]0 \cdot {5^3} = 0[/tex] , [tex]0 \cdot {3^3} = 0[/tex] ইত্যাদি। কিন্তু [tex]0 \cdot {x^0}[/tex] এর ক্ষেত্রে [tex]x \ne 0[/tex] বসাতে হবে। কারণ [tex]{0^0}[/tex] হল অসংজ্ঞাত।
ভাগ পদ্ধতি ( Division Algorithm )
যদি কোনো বহুপদী রাশিমালা অপেক্ষক f(x) এমন হয় যে f(a) = 0 তখন অপেক্ষকটি ( x-a ) দ্বারা বিভাজ্য হবে। অর্থাৎ বহুপদী সংখ্যামালা সর্বদাই তার উৎপাদক দ্বারা বিভাজ্য হবে।
বিভাজ্যতার কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ সূত্র
সূত্র ১. [tex]{x^n} - {a^n}[/tex] এই সংখ্যামালাটি সর্বদা x - a দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি n যেকোনো ধনাত্মক জোড় অথবা বিজোড় সংখ্যা হয়।
এই ভাগ পদ্ধতিটি হল
[tex]\begin{array}{l}
\frac{{{x^n} - {a^n}}}{{x - a}} = {x^{n - 1}} + {x^{n - 2}}a + {x^{n - 3}}{a^2} + ........... + x{a^{n - 2}} + {a^{n - 1}}\\
\Rightarrow {x^n} - {a^n} = \left( {x - a} \right)\left( {{x^{n - 1}} + {x^{n - 2}}a + {x^{n - 3}}{a^2} + ........... + x{a^{n - 2}} + {a^{n - 1}}} \right)
\end{array}[/tex]
সূত্র ২. [tex]{x^n} - {a^n}[/tex] এই সংখ্যামালাটি x + a দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি n একটি ধনাত্মক জোড় সংখ্যা হয়। ( কিন্তু n বিজোড় সংখ্যা হলে বিভাজ্য হবে না )
এই ভাগ প্রক্রিয়াটি হল
[tex]\begin{array}{l}
\frac{{{x^n} - {a^n}}}{{x + a}} = {x^{n - 1}} - {x^{n - 2}}a + {x^{n - 3}}{a^2} - ............... + {a^{n - 2}}x - {a^{n - 1}}\\
\Rightarrow {x^n} - {a^n} = \left( {x + a} \right)\left( {{x^{n - 1}} - {x^{n - 2}}a + {x^{n - 3}}{a^2} - ............... + {a^{n - 2}}x - {a^{n - 1}}} \right)
\end{array}[/tex]
সূত্র ৩. [tex]{x^n} + {a^n}[/tex] এই সংখ্যামালাটি x + a দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি n একটি ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যা হয়। ( কিন্তু যদি n যুগ্ম হয় তাহলে বিভাজ্য হবে না ).
এই ভাগ প্রক্রিয়াটি হল
[tex]\begin{array}{l}
\frac{{{x^n} + {a^n}}}{{x + a}} = {x^{n - 1}} - {x^{n - 2}}a + {x^{n - 3}}{a^2} - .......... + {\left( { - 1} \right)^{n - 2}}x{a^{n - 2}} + {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}x{a^{n - 1}}\\
\Rightarrow {x^n} + {a^n} = \left( {x + a} \right)\left( {{x^{n - 1}} - {x^{n - 2}}a + {x^{n - 3}}{a^2} - .......... + {{\left( { - 1} \right)}^{n - 2}}x{a^{n - 2}} + {{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}x{a^{n - 1}}} \right)
\end{array}[/tex]
সূত্র ৪. [tex]{x^n} + {a^n}[/tex] এই সংখ্যামালাটি n যুগ্ম অথবা অযুগ্ম যাই হোকনা কেন x - a দ্বারা কখনোই বিভাজ্য হবে না।
বিশেষ জ্ঞাতব্য :
যদি n অযুগ্ম সংখ্যা হয়
- [tex]{x^n} - {a^n}[/tex] এই সংখ্যামালাটি x - a দ্বারা বিভাজ্য হবে।
- [tex]{x^n} - {a^n}[/tex] এই সংখ্যামালাটি x + a দ্বারা বিভাজ্য হবে না।
- [tex]{x^n} + {a^n}[/tex] এই সংখ্যামালাটি x + a দ্বারা বিভাজ্য হবে।
- [tex]{x^n} + {a^n}[/tex] এই সংখ্যামালাটি x - a দ্বারা বিভাজ্য হবে না।
যদি n যুগ্ম সংখ্যা হয়
- [tex]{x^n} - {a^n}[/tex] এই সংখ্যামালাটি x - a দ্বারা বিভাজ্য হবে।
- [tex]{x^n} - {a^n}[/tex] এই সংখ্যামালাটি x + a দ্বারা বিভাজ্য হবে।
- [tex]{x^n} + {a^n}[/tex] এই সংখ্যামালাটি x + a দ্বারা বিভাজ্য হবে না।
- [tex]{x^n} + {a^n}[/tex] এই সংখ্যামালাটি x - a দ্বারা বিভাজ্য হবে না।
ভাগশেষ উপপাদ্য ( Remainder Theorem )
f(x) একটি বহুপদী সংখ্যামালা যার মাত্রা [tex]n\left( {n \ge 1} \right)[/tex] এবং a যেকোনো একটি বাস্তব সংখ্যা। f(x) কে ( x-a ) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে f(a) .
প্রমাণ : মনে করি f(x) একটি বহুপদী সংখ্যামালা।
f(x) কে ( x-a ) দ্বারা ভাগ করলে অনন্য ভাগফল q(x) এবং অনন্য ভাগশেষ r(x) পাই।
অতএব [tex]f\left( x \right) = \left( {x - a} \right)q\left( x \right) + r\left( x \right)..........(i)[/tex]
r(x) এর মাত্রা ( x-a ) এর মাত্রা অপেক্ষা সর্বদা কম হবে। এখানে দেখা যাচ্ছে ( x-a ) এর মাত্রা হল 1 .
অতএব r(x) এর মাত্রা এর মাত্রা হবে শূন্য।
অতএব r(x) একটি ধ্রূবক।
মনে করি r(x) = R
অতএব (i) নং থেকে পাই
[tex]f\left( x \right) = \left( {x - a} \right)q\left( x \right) + R[/tex] ( এটি একটি অভেদ )
x = a বসিয়ে পাই
[tex]\begin{array}{l}
f\left( a \right) = \left( {a - a} \right)q\left( a \right) + R\\
\Rightarrow f\left( a \right) = R
\end{array}[/tex]
( প্রমাণিত )
উদাহরণ : [tex]f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + 6x - 1[/tex] বহুপদী সংখ্যামালাকে ( x - 2 ) দিয়ে ভাগ করলে কি ভাগশেষ পাওয়া যায় ?
এখন [tex]x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2[/tex]
অতএব ( x - 2 ) বহুপদী সংখ্যামালা শূন্য হবে যখন x = 2 হবে।
ভাগশেষ উপপাদ্য থেকে আমরা জানি [tex]f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + 6x - 1[/tex] কে ( x - 2 ) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ হবে f(2) .
অতএব নির্ণেয় ভাগশেষ
[tex]\begin{array}{l}
f\left( 2 \right)\\
= {2^3} - 2 \times {2^2} + 6 \times 2 - 1\\
= 8 - 8 + 12 - 1\\
= 11
\end{array}[/tex]
উদাহরণ : ( x-2 ) , [tex]f\left( x \right) = {x^3} - x - 6[/tex] এই বহুপদী রাশিমালার উৎপাদক কিনা পরীক্ষা করি।
এখন [tex]x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2[/tex]
অতএব ( x - 2 ) বহুপদী সংখ্যামালা শূন্য হবে যখন x = 2 হবে।
ভাগশেষ উপপাদ্য থেকে আমরা জানি [tex]f\left( x \right) = {x^3} - x - 6[/tex] কে ( x - 2 ) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ হবে f(2) .
অতএব নির্ণেয় ভাগশেষ
[tex]\begin{array}{l}
f\left( 2 \right)\\
= {2^3} - 2 - 6\\
= 8 - 8\\
= 0
\end{array}[/tex]
সুতরাং দেখা যাচ্ছে ভাগশেষ শূন্য।
অতএব ( x-2 ) , [tex]f\left( x \right) = {x^3} - x - 6[/tex] এই বহুপদী রাশিমালার উৎপাদক।
উদাহরণ : যদি [tex]a{x^2} + 3x - 5[/tex] এবং [tex]{x^2} - 2x + a[/tex] বহুপদী সংখ্যামালাদ্বয়কে ( x-3 ) দ্বারা ভাগ করলে একই ভাগশেষ থাকে তবে a এর মান নির্ণয় করো।
মনে করি [tex]f\left( x \right) = a{x^2} + 3x - 5[/tex] এবং [tex]g\left( x \right) = {x^2} - 2x + a[/tex]
f(x) কে ( x-3 ) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ পাই
[tex]\begin{array}{l}
f\left( 3 \right)\\
= a \times {3^2} + 3 \times 3 - 5\\
= 9a + 9 - 5\\
= 9a + 4
\end{array}[/tex]
g(x) কে ( x-3 ) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ পাই
[tex]\begin{array}{l}
g\left( 3 \right)\\
= {3^2} - 2 \times 3 + a\\
= 9 - 6 + a\\
= 3 + a
\end{array}[/tex]
প্রশ্নানুসারে
[tex]\begin{array}{l}
9a + 4 = 3 + a\\
\Rightarrow 8a = - 1\\
\Rightarrow a = - \frac{1}{8}
\end{array}[/tex]
গুণনীয়ক উপপাদ্য ( Factor Theorem ) :
যদি f(x) কোনো একটি বহুপদী সংখ্যামালা যার মাত্রা [tex]n\left( {n \ge 1} \right)[/tex] এবং a যেকোনো একটি বাস্তব সংখ্যা হয় , তাহলে
- ( x-a ) , f(x) এর একটি উৎপাদক হবে , যদি f(a) = 0 হয়
- বিপরীতক্রমে f(a) = 0 হবে , যদি ( x-a ) , f(x) এর একটি উৎপাদক হয়
প্রমাণ : ভাগশেষ উপপাদ্য থেকে বলতে পারি, একটি বহুপদী সংখ্যামালা f(x) কে ( x-a ) দিয়ে ভাগ করলে একটি বহুপদী সংখ্যামালা q(x) পাবো যাতে [tex]f\left( x \right) = \left( {x - a} \right)q\left( x \right) + f\left( a \right)[/tex]
(i) যদি f(a) = 0 হয় , তবে [tex]f\left( x \right) = \left( {x - a} \right)q\left( x \right)[/tex] পাবো।
অতএব ( x-a ) , f(x) এর একটি উৎপাদক হবে।
(ii) আবার যদি ( x-a ) , f(x) এর একটি উৎপাদক হয় তাহলে একটি বহুপদী সংখ্যামালা g(x) পাবো যাতে [tex]f\left( x \right) = \left( {x - a} \right)g\left( x \right)[/tex] হবে।
x = a বসিয়ে পাবো [tex]f\left( a \right) = \left( {a - a} \right)g\left( a \right) = 0[/tex] ( প্রমাণিত )
উদাহরণ : k এর মান কত হলে [tex]\left( {3x - 2} \right)[/tex] , [tex]15{x^2} - kx - 14[/tex] এর একটি উৎপাদক হবে ?
মনে করি [tex]f\left( x \right) = 15{x^2} - kx - 14[/tex]
এখন [tex]3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}[/tex]
অর্থাৎ [tex]\left( {3x - 2} \right)[/tex] রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য [tex]\frac{2}{3}[/tex]
যেহেতু [tex]\left( {3x - 2} \right)[/tex] , [tex]15{x^2} - kx - 14[/tex] এর একটি উৎপাদক
অতএব [tex]f\left( {\frac{2}{3}} \right) = 0[/tex]
অতএব
[tex]\begin{array}{l}
15{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} - k\left( {\frac{2}{3}} \right) - 14 = 0\\
\Rightarrow 15 \times \frac{4}{9} - \frac{2}{3}k - 14 = 0\\
\Rightarrow \frac{{20}}{3} - \frac{2}{3}k - 14 = 0\\
\Rightarrow 20 - 42 - 2k = 0\\
\Rightarrow 2k = - 22\\
\Rightarrow k = - 11\\
\end{array}[/tex]
অতএব k = -11 হলে , [tex]\left( {3x - 2} \right)[/tex] , [tex]15{x^2} - kx - 14[/tex] এর একটি উৎপাদক হবে।
উদাহরণ : n , যেকোনো যুগ্ম ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা হলে দেখাই যে [tex]{x^n} - {y^n}[/tex] বহুপদী সংখ্যামালাটির একটি উৎপাদক হবে x+y .
মনে করি [tex]{x^n} - {y^n}[/tex] কে x+y দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল Q এবং x বর্জিত ভাগশেষ R
ভাজ্য = ভাজক [tex] \times [/tex] ভাগফল +ভাগশেষ
অতএব [tex]{x^n} - {y^n} = \left( {x + y} \right)Q + R[/tex] ( এটি একটি অভেদ )
যেহেতু R ভাগশেষটি x বর্জিত , সুতরাং x এর মান যাই হোকনা কেন তাতে R এর মান পরিবর্তিত হবেনা। তাই উপরের অভেদে x এর জায়গায় (-y) লিখে পাই
[tex]\begin{array}{l}
{\left( { - y} \right)^n} - {y^n} = \left( { - y + y} \right)Q + R\\
\Rightarrow {y^n} - {y^n} = R\\
\Rightarrow R = 0
\end{array}[/tex]
( যেহেতু n যুগ্ম ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা তাই [tex]{\left( { - y} \right)^n} = {y^n}[/tex] )
সুতরাং [tex]{x^n} - {y^n}[/tex] বহুপদী সংখ্যামালাটির একটি উৎপাদক হবে x+y যখন n একটি যুগ্ম ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
- 2068 views
