অবিচ্ছিন্নতা বা সন্ততা ( Continuity )

অবিচ্ছিন্নতা বা সন্ততা ( Continuity )

সূচনা (Introduction )

কোনো অপেক্ষকের লেখচিত্র যদি কোনো বিন্দুতে ভগ্ন হয় অথবা কোনো বিন্দুতে অপেক্ষকের লেখচিত্র অঙ্কন করতে গিয়ে আমাদের কলম তুলতে হয় , তবে ওই বিন্দুতে অপেক্ষকটি অসন্তত বা বিচ্ছিন্ন ( discontinuous ) হয়। প্রকৃতপক্ষে x = a বিন্দুতে y = f(x) অপেক্ষক সন্তত হলে , f(a) এর নির্দিষ্ট সসীম মান থাকবে এবং x = a মানের খুব অল্প পরিবর্তন হলে f(x) এর মানের ও খুব অল্প পরিবর্তন হবে। অন্যভাবে বলা যায় x = a বিন্দুতে y = f(x) সন্তত হবে যদি f(a) এর মান নির্দিষ্ট সসীম সংখ্যক হয় এবং [tex]x \to a[/tex] হলে [tex]f\left( x \right) \to f\left( a \right)[/tex] হয়। পক্ষান্তরে x = a বিন্দুতে f(x) অনির্ণেয় হলে f(x) অপেক্ষক অসন্তত হবে।

সীমা ও সন্তুতার মধ্যে সম্পর্ক ( Relation between Limit and Continuity )

মনে করি y = f(x) হল x এর একমানবিশিষ্ট অপেক্ষক এবং সংজ্ঞার অঞ্চলে অপেক্ষকটির লেখচিত্রে কোথাও ভগ্ন নেই। তাহলে আমরা বলতে পারি সংজ্ঞার অঞ্চলে অন্তর্গত যেকোনো বিন্দুতে ( মনে করি x = a ) অপেক্ষকটি সন্তত হবে। এখন x = a এর উভয়পাশে a অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর ও বৃহত্তর মানসমূহ নিয়ে ক্রমশ a বিন্দুর নিকট অগ্রসর হলে প্রত্যেক বিন্দুর জন্য y = f(x) এর একটি করে নির্দিষ্ট সসীম মান পাওয়া যাবে এবং এই মান ক্রমশ f(a) এর নিকট থেকে আরো নিকটতর হয় অর্থাৎ ক্রমশ f(a) এর নিকট অগ্রসর হয়।

ওপরের আলোচনা থেকে সহজেই বোঝা যায় যে , যখন y = f(x) অপেক্ষক x = a বিন্দুতে সন্তত , তখন , [tex]x \to a + [/tex] হলে [tex]f\left( x \right) \to f\left( a \right)[/tex] হয় , অর্থাৎ [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a + } f\left( x \right) = f\left( a \right)[/tex] . আবার [tex]x \to a - [/tex] হলে [tex]f\left( x \right) \to f\left( a \right)[/tex] হয় , অর্থাৎ [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a - } f\left( x \right) = f\left( a \right)[/tex] . সুতরাং y = f(x) অপেক্ষক x = a বিন্দুতে সন্তত হলে [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = f\left( a \right)[/tex] হবে।

বিপরীতক্রমে [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = f\left( a \right)[/tex] হলে y = f(x) অপেক্ষক x = a বিন্দুতে সন্তত হবে।

অবিচ্ছিন্নতা বা সন্তুতার সংজ্ঞা ( Definition of Continuity )

মনে করি f(x) হল x এর একটি একমানবিশিষ্ট অপেক্ষক এবং x = a বিন্দুটি অপেক্ষকের সংজ্ঞার অঞ্চলের অন্তর্গত। x = a বিন্দুতে f(x) অপেক্ষকটি সন্তত বা অবিচ্ছিন্ন ( Continuous ) হবে যদি

(i) x = a বিন্দুতে f(x) অপেক্ষকের একটি নির্দিষ্ট সসীম মান থাকবে।

(ii) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)[/tex] এর অস্তিত্ব থাকবে।

(iii) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = f\left( a \right)[/tex] হবে।

দ্রষ্টব্য :-

(i) কোনো মুক্ত বা বদ্ধ ( open or close interval ) বিস্তারের প্রত্যেকটি বিন্দুতে অপেক্ষকটি সন্তত হলে অপেক্ষকটিকে ওই বিস্তারে সন্তত ( Continuous ) বলা হবে।

(ii) x = a বিন্দুতে f(x) অপেক্ষকটি অসন্তত হবে যদি

• x = a বিন্দুতে f(x) অপেক্ষকের নির্দিষ্ট সসীম মান না থাকে , অর্থাৎ f(a) অসংজ্ঞাত হয়।
• [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)[/tex] এর অস্তিত্ব না থাকে।
• [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) \ne f\left( a \right)[/tex] হয়। এক্ষেত্রে [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)[/tex] এর অস্তিত্ব আছে , কিন্তু f(a) এর সঙ্গে তা সমান হয় না।

এই তিন প্রকার অসন্ততার মধ্যে মাঝের ধরণ কে সাধারণ অসন্ততা ( ordinary discontinuity ) বলা হয়। এই অসন্ততায় f(a) এর মান নির্ণেয় বা অনির্ণেয় হতে পারে , তবে তার মান [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a + } f\left( x \right)[/tex] বা [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a - } f\left( x \right)[/tex] কোনো একটির সঙ্গে সমান হতে পারে আবার কোনোটির সঙ্গে সমান নাও হতে পারে।

প্রথম এবং তৃতীয় ধরণের অসন্ততা কে দূরীকরণযোগ্য অসন্ততা (removabel discontinuity ) বলা হয়।

(iii) a < x < b ও x = a বিন্দুতে f(x) সংজ্ঞাত এবং [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a + } f\left( x \right) = f\left( a \right)[/tex] হলে , f(x) অপেক্ষকটিকে x = a বিন্দুর ডানদিকে সন্তত বলা হয়। একইভাবে f(b) সংজ্ঞাত হয় ও [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to b - } f\left( x \right) = f\left( b \right)[/tex] হলে f(x) অপেক্ষকটি x = b বিন্দুর বাঁদিকে সন্তত বলা হয়।

সন্ততার বৈশ্লেষিক সংজ্ঞা ( Analytical Definition of Continuity )

যদি x = a বিন্দুতে f(x) অপেক্ষকের নির্দিষ্ট সসীম মান থাকে এবং পূর্বনির্দিষ্ট ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা [tex]\varepsilon [/tex] ( যাকে যথেচ্ছ ভাবে ক্ষুদ্র করা যায় ) এর জন্য এমন একটি ধনাত্মক সংখ্যা [tex]\delta [/tex] ( যার মান [tex]\varepsilon [/tex] এর মানের উপর নির্ভরশীল ) নির্ণয় করা যায় যাতে [tex]\left| {f\left( x \right) - f\left( a \right)} \right| < \varepsilon [/tex] হয় , যখন [tex]\left| {x - a} \right| < \delta [/tex] হয়।, তবে f(x) অপেক্ষককে x = a বিন্দুতে সন্তত বলা হয়।

কয়েকটি উপপাদ্য ( Some Theorems )

সন্তত অপেক্ষক সম্পর্কিত কয়েকটি উপপাদ্য নিচে দেওয়া হল -

উপপাদ্য 1. f(x) ও g(x) অপেক্ষক দুটি x = a বিন্দুতে সন্তত হলে

(i) [tex]f\left( x \right) \pm g\left( x \right)[/tex] অপেক্ষকটি x = a বিন্দুতে সন্তত হবে।

(ii) [tex]f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)[/tex] অপেক্ষকটি x = a বিন্দুতে সন্তত হবে।

(iii) [tex]\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}},\left[ {g\left( x \right) \ne 0} \right][/tex] অপেক্ষকটি x = a বিন্দুতে সন্তত হবে।

(iv) [tex]f\left\{ {g\left( x \right)} \right\}[/tex] অপেক্ষকটি x = a বিন্দুতে সন্তত হবে।

উপপাদ্য 2. যদি f(x) ও g(x) অপেক্ষক দুটি [tex]a \le x \le b[/tex] বদ্ধ বিস্তারে সন্তত হয় এবং f(a) ও f(b) এর মান পরস্পর বিপরীত চিহ্ন যুক্ত হয় , তবে x = c ওই বদ্ধ বিস্তারের অন্তর্গত অন্তত এমন একটি বিন্দু পাওয়া যাবে যার জন্য f(c) = 0 হবে।

উপপাদ্য 3. যদি f(x) অপেক্ষকটি [tex]a \le x \le b[/tex] বদ্ধ বিস্তারে সন্তত হয় এবং k এমন একটি সংখ্যা পাওয়া যায় , যার জন্য f(a) < k < f(b) হয়। তবে x = c ওই বিস্তারে অন্তর্গত এমন অন্তত একটি বিন্দু , যার জন্য f(c) = k হয়।

উপপাদ্য 4. x = a বিন্দুতে f(x) অপেক্ষক সন্তত হলে x = a বিন্দুর এমন একটি অঞ্চল থাকবে যেখানে f(a) > 0 হলে f(x) > 0 হবে এবং f(a) < 0 হলে f(x) < 0 হবে।

উপপাদ্য 5. যদি f(x) অপেক্ষকটি [tex]a \le x \le b[/tex] বদ্ধ বিস্তারে সন্তত হয় তবে f(x) অপেক্ষকটি ওই বিস্তারে সীমাবদ্ধ ( bounded ) হবে। কিন্তু উল্টোটি সত্য নয় , অর্থাৎ f(x) অপেক্ষকটি ওই বিস্তারে সীমাবদ্ধ হলে অপেক্ষকটি ওই বিস্তারে সন্তত না হতেও পারে।

উপপাদ্য 6. যদি y = f(x) অপেক্ষকটি [tex]a \le x \le b[/tex] বদ্ধ বিস্তারে সন্তত এবং একদিষ্ট আরোহী ( বা অবরোহী ) হয় , তাহলে তার বিপরীত অপেক্ষকের অস্তিত্ব থাকবে এবং তা [tex]f\left( a \right) \le y \le f\left( b \right)[/tex] বিস্তারে সন্তত ও যথার্থ একদিষ্ট আরোহী ( বা অবরোহী ) হবে।

কয়েকটি প্রাথমিক অপেক্ষকের সন্ততা ( Continuity of some Elementary Functions )

1. [tex]f\left( x \right) = {x^n}[/tex] , যদি n = ধনাত্মক মূলদ সংখ্যা হয় , তাহলে x এর সমস্ত মানের জন্য f(x) সন্তত হবে। আবার যদি n = ঋণাত্মক মূলদ সংখ্যা হয় , তবে x = 0 ছাড়া x এর সমস্ত মানের জন্য f(x) সন্তত হবে।
2. [tex]P\left( x \right) = {a_0}{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ............ + {a_{n - 1}}x + {a_n}[/tex] একটি বহুপদ অপেক্ষক হলে x এর সমস্ত মানের জন্য P(x) সন্তত হবে।
3. x এর সমস্ত মানের জন্য [tex]{e^x}[/tex] অপেক্ষক সন্তত।
4. x এর সমস্ত ধনাত্মক মানের জন্য [tex]{\log _e}x[/tex] অপেক্ষক সন্তত।

• x এর সমস্ত মানের জন্য [tex]\sin x[/tex] ও [tex]\cos x[/tex] অপেক্ষক দুটি সন্তত।
• [tex]x = \left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{2}[/tex] ( যেখানে n যেকোনো পূর্ণসংখ্যা ) মানসমূহ ছাড়া x এর অন্য সব মানের জন্য \[tex]tan x[/tex] ও [tex]\sec x[/tex] অপেক্ষক দুটি সন্তত।
• [tex]x = n\pi [/tex] ( যেখানে n যেকোনো পূর্ণসংখ্যা ) মানসমূহ ছাড়া x এর অন্য সব মানের জন্য [tex]\cot x[/tex] ও [tex]\cos ecx[/tex] অপেক্ষক দুটি সন্তত।

সংক্ষিপ্তকরণ ( Summarisation )

(১) f(x) অপেক্ষকের x = a বিন্দুতে সন্তুতার সংজ্ঞা

x = a বিন্দুতে f(x) অপেক্ষককে সন্তত (continuous ) বলা হবে যদি

(i) x = a বিন্দুতে f(x) অপেক্ষকের একটি নির্দিষ্ট সসীম মান থাকবে।

(ii) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)[/tex] এর অস্তিত্ব থাকবে।

(iii) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = f\left( a \right)[/tex] হবে।

(২) যদি উপরের সন্ততার শর্তের কোনো একটি শর্ত f(x) অপেক্ষক দ্বারা সিদ্ধ না হয় , তবে f(x) অপেক্ষকটি অসন্তত বা বিচ্ছিন্ন ( discontinuous ) বলা হবে। x = a বিন্দুটিকে অসন্তত বিন্দু বলা হয়।

(৩) f(x) অপেক্ষকটি যদি [tex]a \le x \le b[/tex] এই বিস্তারের প্রত্যেকটি বিন্দুতে সন্তত হয় , তবে অপেক্ষকটিকে [tex]a \le x \le b[/tex] এই বিস্তারে সন্তত বলা হয়।

উদাহরণ 1. একটি অপেক্ষক f(x) এর সংজ্ঞা নিচে দেওয়া হল

f(x) = 1 , যখন x > 0

= 0 , যখন x = 0

=- 1 , যখন x < 0

x = 0 বিন্দুতে অপেক্ষকের সন্ততা পরীক্ষা করো।

সমাধান :- f(x) অপেক্ষকের সন্ততা পরীক্ষা করার জন্য আমাদের [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)[/tex] এর অস্তিত্ব আছে কিনা তা নির্ণয় করতে হবে।

এখন [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 + } f\left( x \right) = 1[/tex] যেহেতু x > 0 .

[tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 - } f\left( x \right) = - 1[/tex] যেহেতু x < 0

[tex]f\left( 0 \right) = 0[/tex]

দেখা যাচ্ছে [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 - } f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to 0 + } f\left( x \right) \ne f\left( 0 \right)[/tex]

সুতরাং f(x) অপেক্ষক x = 0 অসন্তত।

উদাহরণ 2. [tex]f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{{x^3} - 2{x^2} - 5x + 6}}[/tex] এই অপেক্ষক অসন্তত বিন্দুসমূহ নির্ণয় করো।

সমাধান :- f(x) অপেক্ষকটি অসন্তত হবে যখন [tex]{{x^3} - 2{x^2} - 5x + 6}[/tex] = 0 হবে।

এখন

[tex]\begin{array}{l}
{x^3} - 2{x^2} - 5x + 6 = 0\\
\Rightarrow {x^3} - {x^2} - {x^2} + x - 6x + 6 = 0\\
\Rightarrow {x^2}\left( {x - 1} \right) - x\left( {x - 1} \right) - 6\left( {x - 1} \right) = 0\\
\Rightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - x - 6} \right) = 0\\
\Rightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2x - 6} \right) = 0\\
\Rightarrow \left( {x - 1} \right)\left[ {x\left( {x - 3} \right) + 2\left( {x - 3} \right)} \right] = 0\\
\Rightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\\
\Rightarrow x = 1,3,\left( { - 2} \right)
\end{array}[/tex]

x এর মান 1 , 2 , -3 বিন্দুতে f(x) অপেক্ষক অসন্তত হবে।

উদাহরণ 3. মনে করি

f(x) = [tex]\frac{{2{x^2} - 8}}{{x - 2}}[/tex] , যখন [tex]x \ne 2[/tex]

= k , যখন x = 2

f(x) অপেক্ষক x = 2 বিন্দুতে সন্তত হলে k এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান :- f(x) অপেক্ষকের x = 2 বিন্দুতে সন্তত হওয়ার শর্ত হল , [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)[/tex] এর অস্তিত্ব থাকবে।

এখন

[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 2 - } f\left( x \right)\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2 - } \frac{{2{x^2} - 8}}{{x - 2}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2 - } \frac{{2\left( {{x^2} - 4} \right)}}{{x - 2}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2 - } \frac{{2\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2 - } 2\left( {x + 2} \right)\\
= 2\left( {2 + 2} \right)\\
= 8
\end{array}[/tex]

অনুরূপে আমরা প্রমাণ করতে পারি [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 2 + } f\left( x \right)[/tex] = 8

এখন

[tex]\begin{array}{l}
f\left( 2 \right) = 8\\
\Rightarrow k = 8
\end{array}[/tex]

উদাহরণ 4. f(x) অপেক্ষকের সংজ্ঞা নীচে দেওয়া হল

f(x) = x + 2 , যখন x < 2

= [tex]{x^2} - 1[/tex] , যখন [tex]x \ge 2[/tex]

দেখাও যে , f(x) অপেক্ষক x = 2 বিন্দুতে অসন্তত এবং ওই বিন্দুতে অপেক্ষকের লাফ ( jump ) (-1) এর সমান।

সমাধান :-

[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 2 - } f\left( x \right)\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2 - } \left( {x + 2} \right)\\
= 2 + 2\\
= 4
\end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 2 + } f\left( x \right)\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2 + } \left( {{x^2} - 1} \right)\\
= {2^2} - 1\\
= 3
\end{array}[/tex]

[tex]f\left( 2 \right) = {2^2} - 1 = 3[/tex]

সুতরাং [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 2 - } f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to 2 + } f\left( x \right)[/tex]

অতএব f(x) অপেক্ষকটি x = 2 বিন্দুতে অসন্তত।

আবার x = 2 বিন্দুতে অপেক্ষকের লাফ

[tex]\begin{array}{l}
= f\left( {2 + 0} \right) - f\left( {2 - 0} \right)\\
= 3 - 4\\
= - 1
\end{array}[/tex]

উদাহরণ 5. a ও b এর এমন মান নির্ণয় করো যে নীচে সংজ্ঞাত অপেক্ষক f(x)

[tex]f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
x + a\sqrt 2 \sin x,0 \le x < \frac{\pi }{4}\\
2x\cot x + b,\frac{\pi }{4} \le x \le \frac{\pi }{2}\\
a\cos 2x - b\sin x,\frac{\pi }{2} < x \le \pi
\end{array} \right\}[/tex]

[tex]0 \le x \le \pi [/tex] অন্তরে x এর সমস্ত মানের জন্য সন্তত হবে। [Jt. Ent. 2000]

সমাধান :- যেহেতু f(x) অপেক্ষক [tex]0 \le x \le \pi [/tex] অন্তরে সব মানের জন্যে সন্তত , সেই কারণে f(x) অপেক্ষক [tex]x = \frac{\pi }{4}[/tex] এবং [tex]x = \frac{\pi }{2}[/tex] বিন্দুতেও সন্তত হবে।

[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4} - } f\left( x \right)\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4} - } \left( {x + a\sqrt 2 \sin x} \right)\\
= \frac{\pi }{4} + a\sqrt 2 \sin \frac{\pi }{4}\\
= \frac{\pi }{4} + a\sqrt 2 \cdot \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\
= a + \frac{\pi }{4}
\end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4} + } f\left( x \right)\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4} + } \left( {2x\cot x + b} \right)\\
= 2 \cdot \frac{\pi }{4} \cdot \cot \frac{\pi }{4} + b\\
= \frac{\pi }{2} + b
\end{array}[/tex]

প্রশ্নানুযায়ী

[tex]\begin{array}{l}
\frac{\pi }{2} + b = a + \frac{\pi }{4}\\
\Rightarrow a - b = \frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4}
\end{array}[/tex]........(i)

আবার

[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2} - } f\left( x \right)\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2} - } \left( {2x\cot x + b} \right)\\
= 2 \cdot \frac{\pi }{2} \cdot \cot \frac{\pi }{2} + b\\
= \pi \cdot 0 + b\\
= b
\end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2} + } f\left( x \right)\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2} + } \left( {a\cos 2x - b\sin x} \right)\\
= a\cos 2 \cdot \frac{\pi }{2} - b\sin \frac{\pi }{2}\\
= a\left( { - 1} \right) - b\\
= - a - b
\end{array}[/tex]

প্রশ্নানুযায়ী

[tex]\begin{array}{l}
- a - b = b\\
\Rightarrow 2b = - a
\end{array}[/tex]

(i) থেকে পাই

[tex]\begin{array}{l}
2b = - (\frac{\pi }{4} + b)\\
\Rightarrow 3b = - \frac{\pi }{4}\\
\Rightarrow b = - \frac{\pi }{{12}}
\end{array}[/tex]

অতএব

[tex]\begin{array}{l}
a = - 2b\\
= - 2\left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right)\\
= \frac{\pi }{6}
\end{array}[/tex]