সমান্তর,গুনোত্তর ও বিপরীত প্রগতি

(Arithmetic, Geometric and Harmonic Progression)

এই অধ্যায়ে আমরা ধারাবাহিক সংখ্যাগুচ্ছ(sequence of numbers)বলতে কী বোঝায় তা নিয়ে আলচনা করব।একটি ধারাবাহিক সংখ্যাগুচ্ছ বলতে বোঝায় একগুচ্ছ সংখ্যা(a set of numbers)যা একটি নিয়মে ক্রমান্বয়ে সজ্জিত থাকে।

মনে করি হল একটি  ধারাবাহিক সংখ্যাগুচ্ছ যা একটি নির্দিষ্ট ক্রমে সজ্জিত আছে।এখানে n হল একটি অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যা। হল যথাক্রমে  ধারাবাহিক সংখ্যাগুচ্ছের প্রথম দ্বিতীয় ওnতম পদ।যদি এর মান জানা থাকে তবে আমরা সম্পূর্ন  ধারাবাহিক সংখ্যাগুচ্ছটি লিখতে পারি।

উদাহরণ:- যদি হয় তাহলে সম্পূর্ন  ধারাবাহিক সংখ্যাগুচ্ছটি হয়

\left\{ {{1^3},{2^3},{3^3}, \ldots  \ldots ,{n^3} \ldots  \ldots } \right\}\\
 = \left\{ {1,8,27, \ldots  \ldots ,{n^3}, \ldots  \ldots } \right\}
\end{array}" alt="\begin{array}{l}
\left\{ {{1^3},{2^3},{3^3}, \ldots  \ldots ,{n^3} \ldots  \ldots } \right\}\\
 = \left\{ {1,8,27, \ldots  \ldots ,{n^3}, \ldots  \ldots } \right\}
\end{array}" style="vertical-align: middle;"/>

আবার হয় তাহলে সম্পূর্ন  ধারাবাহিক সংখ্যাগুচ্ছটি হবে

\left\{ {1 + 1,2 + 1,3 + 1, \ldots  \ldots n + 1 \ldots  \ldots } \right\}\\
 = \left\{ {2,3,4, \ldots  \ldots ,n + 1 \ldots  \ldots } \right\}
\end{array}" alt="\begin{array}{l}
\left\{ {1 + 1,2 + 1,3 + 1, \ldots  \ldots n + 1 \ldots  \ldots } \right\}\\
 = \left\{ {2,3,4, \ldots  \ldots ,n + 1 \ldots  \ldots } \right\}
\end{array}" style="vertical-align: middle;"/>

এই অধ্যায়ে আমরা তিন ধরনের  ধারাবাহিক সংখ্যাগুচ্ছ সম্পর্কে আলোচনা করব।

১৷সমান্তর প্রগতি(Arithmetic progression)

২৷গুনত্তর প্রগতি(Geometric progression)

৩৷বিপরীত প্রগতি(Harmonic progression)

সমান্তর প্রগতি(Arithmetic progressionবাA.P)

সমান্তর প্রগতি(Arithmetic progression)হল এমন একটি ধারাবাহক সংখ্যাগুচ্ছ যেখানে প্রত্যেকটি পদের সঙ্গে একটি ধ্রুবক রাশি যোগ করলে ঠিক তারপরের পদটি পাওয়া যায়।অতএব এখানে পরপর দুটি পদের মধ্যে পার্থক্য একটি ধ্রুবক রাশি হবে তাই একে নির্দিষ্ট পার্থক্যবিশিষ্ট ধারাবাহিক সংখ্যাগুচ্ছ বলে।সংজ্ঞায় যে ধ্রুবক রাশির কথা বলা হয়েছে তাকে সাধারণ অন্তর(Common difference)বলে।

অতএব সাধারণ অন্তর(Common difference)=(পরবর্তী পদ)-(পূর্ববর্তী পদ)

উদাহরণ:- হল একটি সামান্তর প্রগতি যার সাধারণ অন্তর 2।

প্রথম পদ (2)

দ্বিতীয় পদ(4)=2+2=(প্রথম পদ)+(সাধারণ অন্তর)

তৃতীয় পদ(6)=4+2=(দ্বিতীয় পদ)+(সাধারণ অন্তর)

উদাহরণ:-  হল একটি সামান্তর প্রগতি যার সাধারণ অন্তর (-2)।

প্রথম পদ(-5)

দ্বিতীয় পদ (-7)=(-5)+(-2)=(প্রথম পদ)+ (সাধারণ অন্তর )

তৃতীয় পদ(-9)=(-7)+(-2)=(দ্বিতীয় পদ)+(সাধারণ অন্তর )

সামান্তর প্রগতির  সাধারণ আকার এবং সেই সম্পর্কে তার সূত্রাবলী

একটি  সামান্তর প্রগতির  সাধারণ আকার হল

যেখানে a হল সামান্তর প্রগতির প্রথম পদ d হল সাধারণ অন্তর।

·         সামান্তর প্রগতির সাধারণ পদ(বা n তম পদ)নির্ণয়

স্পষ্টতই (1) সামান্তর প্রগতির

দ্বিতীয় পদ =প্রথম পদসাধারণ অন্তর

তৃতীয় পদ =প্রথম পদ সাধারণ অন্তর

চতুর্থ পদ= =প্রথম পদ সাধারণ অন্তর

সাধারণ ভাবে

nতম পদ =প্রথম পদসাধারণ অন্তর

যদি nতম পদ হয় তাহলে আমরা লিখতে পারি

·         সামন্তর প্রগতির প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয়

মনে করি হল (1) সামান্তর প্রগতির  প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি এবং  l হল nতম পদ।অতএব (n-1)ও(n-2)তম পদ হবে যথাক্রমে l-d, l-2d যেখানে dহল সাধারণ অন্তর।

উল্টভাবে লিখলে পাই

করে পাই

{s_n} = a + \left( {a + d} \right) + (a + 2d) +  \ldots  \ldots  + (l - 2d) + (l - d) + l\\
 + {s_n} = l + (l - d) + (l - 2d) +  \ldots  \ldots  + (a + 2d) + (a + d) + a\\
 \Rightarrow 2{s_n} = (a + l) + (a + l) + (a + l) +  \ldots  \ldots  + (a + l)\\
 \Rightarrow 2{s_n} = n \cdot (a + l)\\
 \Rightarrow {s_n} = \frac{n}{2} \cdot (a + l)\\
 \Rightarrow {s_n} = \frac{n}{2} \cdot \{ a + a + (n - 1) \times d\} \\
 \Rightarrow {s_n} = \frac{n}{2} \cdot \left\{ {2a + \left( {n - 1} \right) \times d} \right\}
\end{array}" alt="\begin{array}{l}
{s_n} = a + \left( {a + d} \right) + (a + 2d) +  \ldots  \ldots  + (l - 2d) + (l - d) + l\\
 + {s_n} = l + (l - d) + (l - 2d) +  \ldots  \ldots  + (a + 2d) + (a + d) + a\\
 \Rightarrow 2{s_n} = (a + l) + (a + l) + (a + l) +  \ldots  \ldots  + (a + l)\\
 \Rightarrow 2{s_n} = n \cdot (a + l)\\
 \Rightarrow {s_n} = \frac{n}{2} \cdot (a + l)\\
 \Rightarrow {s_n} = \frac{n}{2} \cdot \{ a + a + (n - 1) \times d\} \\
 \Rightarrow {s_n} = \frac{n}{2} \cdot \left\{ {2a + \left( {n - 1} \right) \times d} \right\}
\end{array}" style="vertical-align: middle;"/>

[l(n তম পদ)এর মান বসিয়ে পাই]

সমান্তর প্রগতির কয়েকটি ধর্ম

মনে করি

হল একটি সমান্তর প্রগতি যার a হল প্রথম পদ dহল সাধারণ অন্তর।

·         সমান্তর প্রগতির প্রত্যেকটি পদের সঙ্গে একটি ধ্রুবক রাশি kযুক্ত হলে নতুন সমান্তর প্রগতি গঠিত হয়

(1) সমান্তর প্রগতির প্রতিটি পদের সাথে kযোগ করলে হয়

স্পষ্টতই (2)হল একটি নতুন সমান্তর প্রগতি যেখানে প্রথম পদ হল (a+k)এবং সাধারণ অন্তর হল d।

·         সমান্তর প্রগতির প্রত্যেকটি পদ থেকে kবিয়োগ করলে নতুন সমান্তর প্রগতি গঠিত হয়

(1)সমান্তর প্রগতির প্রতিটি পদ থেকে kবিয়োগ করলে হয়

স্পষ্টতই (3) হল কটি নতুন সমান্তর প্রগতি  যেখানে প্রথম পদ হল (a-k)এবং সাধারণ অন্তর হল d।

·         সমান্তর প্রগতির প্রত্যেকটি পদের সঙ্গে একটি ধ্রুবক রাশি kগুন করলে নতুন সমান্তর প্রগতি গঠিত হয়

(1) সমান্তর প্রগতির প্রতিটি পদের সাথে kগুন করলে হয়

\left\{ {ak,(a + d)k,(a + 2d)k, \ldots  \ldots } \right\}\\
 = \left\{ {ak,ak + dk,ak + 2dk, \ldots  \ldots } \right\} \to (4)
\end{array}" alt="\begin{array}{l}
\left\{ {ak,(a + d)k,(a + 2d)k, \ldots  \ldots } \right\}\\
 = \left\{ {ak,ak + dk,ak + 2dk, \ldots  \ldots } \right\} \to (4)
\end{array}" style="vertical-align: middle;"/>

স্পষ্টতই (4) হল কটি নতুন সমান্তর প্রগতি  যেখানে প্রথম পদ হল  ak এবং সাধারণ অন্তর হল dk।

·         সমান্তর প্রগতির প্রত্যেকটি পদকে একটি ধ্রুবক রাশি kদিয়ে ভাগ করলে নতুন সমান্তর প্রগতি গঠিত হয়

(1)সমান্তর প্রগতির প্রতিটি পদকে kদিয়ে ভাগ করলে হয়

\left\{ {\frac{a}{k},\frac{{a + d}}{k},\frac{{a + 2d}}{k}, \ldots  \ldots } \right\}\\
 = \left\{ {\frac{a}{k},\frac{a}{k} + \frac{d}{k},\frac{a}{k} + \frac{{2d}}{k} \ldots  \ldots } \right\} \to \left( 5 \right)
\end{array}" alt="\begin{array}{l}
\left\{ {\frac{a}{k},\frac{{a + d}}{k},\frac{{a + 2d}}{k}, \ldots  \ldots } \right\}\\
 = \left\{ {\frac{a}{k},\frac{a}{k} + \frac{d}{k},\frac{a}{k} + \frac{{2d}}{k} \ldots  \ldots } \right\} \to \left( 5 \right)
\end{array}" style="vertical-align: middle;"/>

স্পষ্টতই (5) হল কটি নতুন সমান্তর প্রগতি  যেখানে প্রথম পদ হল  এবং সাধারণ অন্তর হল ।

প্রথম nসংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘাতের সমষ্ট নির্ণয়

১৷প্রথম  n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি নির্ণয়

মনে করি নির্ণেয় যোগফল হল

এখানে প্রথম পদ=1,  সাধারণ অন্তর=1, অন্তিম পদ=n

{s_n} = \frac{n}{2}\left\{ {2 \cdot 1 + \left( {n - 1} \right) \cdot 1} \right\}\\
 = \frac{n}{2}\left\{ {2 + n - 1} \right\}\\
 = \frac{n}{2}\left\{ {n + 1} \right\}
\end{array}" alt="\begin{array}{l}
{s_n} = \frac{n}{2}\left\{ {2 \cdot 1 + \left( {n - 1} \right) \cdot 1} \right\}\\
 = \frac{n}{2}\left\{ {2 + n - 1} \right\}\\
 = \frac{n}{2}\left\{ {n + 1} \right\}
\end{array}" style="vertical-align: middle;"/>

২৷প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি নির্ণয়

{s_n} = {1^2} + {2^2} + {3^2} +  \ldots  \ldots  + {n^2}\\
 = \frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1)
\end{array}" alt="\begin{array}{l}
{s_n} = {1^2} + {2^2} + {3^2} +  \ldots  \ldots  + {n^2}\\
 = \frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1)
\end{array}" style="vertical-align: middle;"/>

৩৷প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি নির্ণয়

{s_n} = {1^3} + {2^3} + {3^3} +  \ldots  \ldots  + {n^3}\\
 = {\left[ {\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} \right]^2}
\end{array}" alt="\begin{array}{l}
{s_n} = {1^3} + {2^3} + {3^3} +  \ldots  \ldots  + {n^3}\\
 = {\left[ {\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} \right]^2}
\end{array}" style="vertical-align: middle;"/>

সামান্তরীয় মধ্যক(Arithmetic Mean)

যখন তিনটি রাশি সামান্তর প্রগতিতে থাকে তখন মধ্যবর্তী পদকে সামান্তরীয় মধ্যক বলে।

উদাহরণ:- এখানে aহল  সামান্তরীয় মধ্যক।

যদি a ও bরাশির  সামান্তরীয় মধ্যক x হয় তাহলে

x - a = b - x\\
 \Rightarrow 2x = a + b\\
 \Rightarrow x = \frac{{a + b}}{2}
\end{array}" alt="\begin{array}{l}
x - a = b - x\\
 \Rightarrow 2x = a + b\\
 \Rightarrow x = \frac{{a + b}}{2}
\end{array}" style="vertical-align: middle;"/>

সুতরাং দুটি রাশির  সামান্তরীয় মধ্যক হল রাশি দুটির সমষ্টির অর্ধেক।

আবার যখন তিনটির বেশি রাশি থাকে তবে মাঝের রাশিগুলিকে  সামান্তরীয় মধ্যকসমূহ বলে।

সংক্ষিপ্তকরণ(Summarisation)

১৷ কোনো সমান্তর প্রগতির প্রথম পদ a এবং সাধারন অন্তর d হলে

·         nতম পদ

·         প্রথম nসংখ্যক পদের যোগফল

২৷প্রথম nসংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি

৩৷প্রথম nসংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি

৪৷প্রথম nসংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি

৫৷যদি a ও bরাশির  সামান্তরীয় মধ্যক x হয় তাহলে