তৃতীয় অধ্যায়ঃ দ্বিপদ উপপাদ্য ( Binomial Theorem )
ভূমিকা ( Introduction )
দ্বিপদ কথার অর্থ হল দুটি পদ। যে রাশিতে দুটি পদ থাকে তাকে দ্বিপদ রাশি বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ : 2 x + 5 , a x + b , a x - c y ইত্যাদি এরা প্রত্যেকে দ্বিপদ রাশি। আমরা দ্বিপদ রাশি ( a + x ) এর বর্গ কিংবা ঘন মান সহজেই নির্ণয় করতে পারি। কিন্তু এদের উচ্চতর ঘাতের মান বা n ঘাতের মান সহজে নির্ণয় করতে পারিনা। এই জাতীয় দ্বিপদ রাশির প্রকাশ জন্য একটি সাধারণ সূত্র ব্যবহার করি , এই সাধারণ সূত্রকেই বীজগণিতের ভাষায় দ্বিপদ উপপাদ্য ( Binomial Theorem ) বলে।
দ্বিপদ উপপাদ্যের সাহায্যে আমরা সহজেই যেকোনো দ্বিপদ রাশির যেকোনো ঘাতের মান প্রকাশ করতে পারি। এই উপপাদ্যটি Sir Isaac Newton আবিষ্কার করেছেন।
ধনাত্মক অখণ্ড সূচকের ক্ষেত্রে দ্বিপদ উপপাদ্য ( Binomial Theorem for a Positive Integral Index )
- উপপাদ্যের প্রতিপাদ্য বিষয় ( Statement of the theorem )
সংক্ষিপ্তকরণ --
(1) n ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা হলে ,
[tex]{(a + x)^n} = {a^n} + {}^n{c_1} \cdot {a^{n - 1}}{x^1} + {}^n{c_2} \cdot {a^{n - 2}}{x^2} + \cdots + {}^n{c_r} \cdot {a^{n - r}}{x^r} + \cdots + {x^n} [/tex] ....(1)
(2) (1) n যুগ্ম হলে, (1) বিস্তৃতির একটি মাধ্যম পদ থাকবে এবং মাধ্যম পদটি হবে [tex]\left( {\frac{n}{2} + 1} \right)[/tex] -তম পদ ;
(2) n অযুগ্ম হলে, (1) বিস্তৃতির দুটি মাধ্যম পদ থাকবে এবং পদটি দুটি যথাক্রমে [tex]\left( {\frac{{n - 1}}{2} + 1} \right)[/tex] -তম এবং [tex]\left( {\frac{{n + 1}}{2} + 1} \right)[/tex] -তম পদ হবে ।
(3) [tex]{(a + x)^n}[/tex] -এর বিস্তৃতিতে m -তম অথবা, ( m+1 ) -তম পদ বৃহত্তম হবে যদি , [tex]\frac{{(n + 1)x}}{{a + x}}[/tex] = একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা m হয় , পক্ষান্তরে , [tex]\frac{{(n + 1)x}}{{a + x}}[/tex] = [ একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (m) + একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ হলে ] , ( m+1 ) -তম পদটি বৃহত্তম পদ হবে ।
(4) (1) বিস্তৃতির সাধারণ পদ = [tex](r + 1)[/tex] তম পদ = [tex]{t_{r + 1}} = {}^n{c_r} \cdot {a^{n - r}}{x^r}[/tex] ।
- 16 views
