বৃত্ত সংক্রান্ত উপপাদ্য ( Theorems related to circle )
সূচনা (Introduction )
আমরা এর আগে বৃত্তের সঙ্গে পরিচিত হয়েছি এবং বৃত্ত সম্পর্কিত বৃত্তের সংজ্ঞা , বৃত্তের কেন্দ্র , বৃত্তের ব্যাসার্ধ , বৃত্তের ব্যাস , বৃত্তচাপ ,বৃত্তের জ্যা এবং অৰ্ধবৃত্ত এর গুলোর সঙ্গে আমাদের পরিচয় ঘটেছে। এই অধ্যায়ে বৃত্ত সম্বন্ধীয় প্রতিপাদ্য আলোচনা করা হবে , তার জন্য প্রয়োজনীয় বিষয় গুলি আর একবার আলোচনা করব।
বৃত্তাংশ : কোনো বৃত্তের একটি জ্যা ও একটি চাপের দ্বারা গঠিত চিত্রকে বলা হয় বৃত্তাংশ।
উপরের চিত্রে ACB একটি বৃত্তাংশ যা AB জ্যা এবং ACB বৃত্তচাপ গঠিত।
বৃত্তকলা : কোনো বৃত্তের দুটি ব্যাসার্ধ ও একটি চাপ দ্বারা গঠিত চিত্রকে বলা হয় বৃত্তকলা।
উপরের চিত্রে যেমন OA এবং OB দুটি ব্যাসার্ধ ও একটি বৃত্তচাপ ACB দ্বারা গঠিত OACB একটি বৃত্তকলা। অনুরূপে OADB আর একটি বৃত্তকলা , যা ব্যাসার্ধ OA এবং OB ও বৃত্তচাপ ADB দ্বারা গঠিত।
এককেন্দ্রীয় বৃত্তসমূহ : একটি বৃত্তকে কেন্দ্র করে একাধিক বৃত্ত অঙ্কন করা হলে , ওই বৃত্ত গুলিকে বলা হয় এককেন্দ্রীয় বৃত্তসমূহ।
বিভিন্ন সংখ্যক বিন্দুগামী বৃত্ত আঁকার সম্ভাব্যতা
আমরা জানি একটি বৃত্ত অঙ্কন করতে হলে প্রয়োজন একটি কেন্দ্র এবং একটি ব্যাসার্ধ। যদি কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্দিষ্ট না বলা থাকে তাহলে আমরা অসংখ্য বৃত্ত অঙ্কন করতে পারি। কেন্দ্র নির্দিষ্ট এবং ব্যাসার্ধ নির্দিষ্ট না থাকলে আমরা অসংখ্য বৃত্ত অঙ্কন করতে পারি এবং সেগুলি হবে এককেন্দ্রীয় বৃত্ত। আবার ব্যাসার্ধ নির্দিষ্ট কিন্তু কেন্দ্র পৃথক পৃথক হলে যে সব বৃত্ত গুলি অঙ্কন করতে পারি তারা হবে তারা হবে সর্বসম।
আবার দেখা যায় একটি বিন্দু দিয়ে অসংখ্য বৃত্ত অঙ্কন করা যায়।
যদি দুটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী বৃত্ত অঙ্কন করতে হয় তাহলে কতগুলি বৃত্ত পাবো ? সেক্ষেত্রে দেখা যায় অসংখ্য বৃত্ত পাওয়া যায়। ধরা যাক A ও B দুটি নির্দিষ্ট বিন্দু। তাহলে বৃত্ত গুলির কেন্দ্র এমন স্থানে অবস্থিত হতে হবে যে তার থেকে A ও B সমদূরতে অবস্থিত হবে।
ধরা যাক A ও B দুটি নির্দিষ্ট বিন্দু। তাহলে বৃত্ত গুলির কেন্দ্র এমন নির্দিষ্ট স্থানে
অবস্থিত হতে হবে যে তা থেকে A ও B যেন সমদূরত্বে থাকে। আমরা পূর্বে দেখেছি যে AB রেখাংশের লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের উপরে অবস্থিত যেকোনো বিন্দুকে কেন্দ্র করে ওই বিন্দু ও A অথবা B বিন্দুর সংযোগ রেখাংশকে ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত অঙ্কন করলেই তা A এবং B বিন্দুগামী হবে।
এবার দেখা যাক তিনটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে কতগুলি বৃত্ত অঙ্কন করা যাবে। প্রথমে দেখি বিন্দুগুলি যদি অসমরেখ হয় তাহলে কি হবে ?
তিনটি অসমরেখ বিন্দু দিয়ে বৃত্ত অঙ্কন করতে হলে প্রথমেই আমাদের অন্তত একটি বিন্দু খুঁজে বের করতে হবে , যার থেকে ওই তিনটি বিন্দুর দূরত্ব সমান হয়।
মনে করি প্রদত্ত বিন্দু তিনটি হল A , B এবং C . তবে AB এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক PQ এর উপর অবস্থিত আবার B ও C থেকে সমদূরবর্তী বিন্দু BC এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক RS এর উপর অবস্থিত। যেহেতু A , B ও C তিনটি অসমরেখ বিন্দু তাই AB ও BC এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক অর্থাৎ PQ এবং RS একটি নির্দিষ্ট বিন্দু O তে পরস্পরকে ছেদ করবে। অতএব O বিন্দুকে কেন্দ্র করে A , B ও C বিন্দু দিয়ে একটি মাত্র বৃত্ত অঙ্কন করা যাবে।
সুতরাং আমরা সিদ্ধান্ত নিতে পারি তিনটি অসমরেখ বিন্দু দিয়ে একটি মাত্র বৃত্ত অঙ্কন করা যায়। অপরপক্ষে তিনটি বিন্দু সমরেখ হলে বৃত্ত অঙ্কন করা সম্ভব নয়।
মন্তব্য :
- একটি বিন্দু দিয়ে অসংখ্য বৃত্ত অঙ্কন করা যায়।
- দুটি বিন্দু দিয়ে অসংখ্য বৃত্ত অঙ্কন করা যায়।
- তিনটি অসমরেখ বিন্দু দিয়ে একটি মাত্র বৃত্ত অঙ্কন করা যায়।
- তিনটির বেশি বিন্দু দিয়ে একটি বৃত্ত অঙ্কন করা সম্ভব নাও হতে পারে। যদি সম্ভব হয় তাদের সমবৃত্তস্থ বিন্দু বলা হয়।
- যে চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দু গুলি কোনো বৃত্তের উপর অবস্থিত হয় , সেই চতুর্ভুজকে বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ বলা হয়।
বিশেষ ধর্ম
(১) একটি সমদ্বিবাহু শীর্ষবিন্দু গুলি সমবৃত্তস্থ।
ABCD একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম , যার AB এবং DC বাহু পরস্পর সমান্তরাল এবং তির্যক বাহুদ্বয় সমান , অর্থাৎ DA = BC .আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে ABCD সমবৃত্তস্থ।
অঙ্কন : DC বাহুর লম্বসমদ্বিখণ্ডক PQ অঙ্কন করা হল। ওই লম্বসমদ্বিখণ্ডক AB বাহুরও লম্বসমদ্বিখণ্ডক হবে।
মনে করি PQ , DC ও AB কে যথাক্রমে R ও S বিন্দুতে ছেদ করেছে।
AD এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক LM অঙ্কন করা হল, যা PQ কে O বিন্দুতে ও AD কে N বিন্দুতে ছেদ করেছে।
O বিন্দুর সঙ্গে যথাক্রমে A , B , C , D বিন্দুগুলিকে যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : আমরা বলতে পারি O , DC এর লম্বসমদ্বিখণ্ডকের উপরে অবস্থিত।
অতএব OC = OD .
অনুরূপভাবে OD =OA OA =OB .
অতএব O কে কেন্দ্র করে OC ব্যাসার্ধ নিয়ে যে বৃত্ত অঙ্কন করা হবে , তা D , A , B বিন্দু দিয়েও যাবে , অর্থাৎ A , B , C , D সমবৃত্তস্থ।
(২) ব্যাস নয় এইরূপ কোনো জ্যা কে যদি বৃত্তের কেন্দ্রগামী কোনো সরলরেখা সমদ্বিখণ্ডিত করে , তাহলে ওই সরলরেখা জ্যা এর উপর লম্ব হবে।
ধরা যাক O হল বৃত্তের কেন্দ্র , AB হল তার একটি জ্যা। OC সরলরেখাটি AB কে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে। আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে OC , AB উপর লম্ব।
অঙ্কন : O , A এবং O , B যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : Δ OAC ও Δ OBC এর
OA = OB ( O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ )
OC সাধারণ বাহু।
AC = BC ( OC , AB কে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে )
অতএব Δ OAC ও Δ OBC হল সর্বসম।
সুতরাং আমরা বলতে পারি [tex]\angle OCA = \angle OCB[/tex]
অতএব OC , AB এর উপর দন্ডায়মান হয়ে সমকোণ উৎপন্ন করেছে।
অতএব OC , AB এর উপর লম্ব।
এখন আমরা দেখাবো বৃত্তের কোনো জ্যা এর লম্ব বৃত্তের কেন্দ্রগামী হলে , জ্যা কে সমদ্বিখণ্ডিত করে ।
ধরা যাক O হল বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB হল তার একটি জ্যা। OC , AB এর উপর লম্ব। আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে AC = BC .
অঙ্কন : O , A এবং O , B যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : এখন Δ AOC ও Δ BOC এর মধ্যে
OA = OB ( যেহেতু তারা O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ )
OC সাধারণ বাহু।
[tex]\angle OCA = \angle OCB[/tex] ( যেহেতু [tex]OC \bot AB[/tex])
অতএব Δ AOC [tex] \cong [/tex] Δ BOC
সুতরাং আমরা বলতে পারি AC = BC .
অনুসিদ্ধান্ত : বৃত্তের কোনো জ্যা এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক বৃত্তের কেন্দ্রগামী হবে।
(৩) দুটি বৃত্তের কেন্দ্র পরস্পরকে দুটি বিন্দুতে ছেদ করলে ওই ছেদ বিন্দুগামী সরলরেখা এবং বৃত্তের কেন্দ্রবিন্দুগামী সরলরেখা পরস্পরের লম্ব হবে।
ধরা যাক X ও Y দুটি বৃত্তের কেন্দ্র , বৃত্ত দুটি পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। আমাদের প্রমাণ করতে হবে XY সাধারণ জ্যা AB কে লম্বভাবে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে।
অঙ্কন : X বিন্দু থেকে AB জ্যা এর লম্ব টানা হল যা AB কে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। OY যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : X কেন্দীয় বৃত্তের AB জ্যা এর উপর OX লম্ব। অতএব O হল AB এর মধ্যবিন্দু।
আবার Y কেন্দীয় বৃত্তের AB জ্যা এবং O হল AB এর মধ্যবিন্দু। অতএব [tex]OY \bot AB[/tex] হবে।
কোনো সরলরেখার উপর একটি বিন্দুতে কেবলমাত্র একটি লম্ব টানা যায়। সুতরাং OX ও OY একটি মাত্র সরলরেখায় অবস্থিত।
অতএব [tex]AB \bot XY[/tex]
আবার O , AB এর মধ্যবিন্দু
অতএব XY , AB কে লম্ব সমদ্বিখণ্ডিত করেছে।
(৪) কোনো বৃত্তের দুটি পরস্পর ছেদী জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করতে পারেনা , যদিনা উভয়ই বৃত্তের ব্যাসার্ধ হয়।
ধরা যাক O কেন্দীয় বৃত্তের AB ও CD দুটি জ্যা , তারা পরস্পরকে P বিন্দুতে এমনভাবে ছেদ করেছে যাতে P , AB এর মধ্যবিন্দু হয়।
আমাদের প্রমাণ করতে হবে P , CD এর মধ্যবিন্দু নয়।
অঙ্কন : O , P যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : P , AB এর মধ্যবিন্দু। অতএব [tex]OP \bot AB[/tex] .
AB ও CD উভয়েই P বিন্দুগামী। সুতরাং একই সঙ্গে AB ও CD উভয়েই OP এর সঙ্গে লম্ব হতে পারেনা। অতএব OP , CD এর উপর লম্ব হতে পারেনা।
আবার যেহেতু কোনো জ্যা এর মধ্যবিন্দুগামী সরলরেখা জ্যা এর উপর লম্ব হয় , তাই P , CD এর মধ্যবিন্দু হতে পারেনা।
(৫) বৃত্তের দুটি সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা কেন্দ্র থেকে সমান দূরত্বে থাকে।
ধরা যাক O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD দুটি সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা। আরো ধরা যাক [tex]OE \bot AB[/tex] এবং [tex]OF \bot CD[/tex] অর্থাৎ OE ও OF যথাক্রমে কেন্দ্ৰ O থেকে AB ও CD এর উপর দূরত্ব। প্রমাণ করতে হবে যে OE = OF .
অঙ্কন : O , A এবং O , C যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : দেখা যাচ্ছে [tex]OE \bot AB[/tex] এবং [tex]OF \bot CD[/tex]
অতএব E ও F যথাক্রমে AB ও CD এর মধ্যবিন্দু।
এখন AB = CD . অতএব [tex]\frac{1}{2} = AB = \frac{1}{2}CD \Rightarrow AE = CF[/tex]
এখন Δ AOE ও Δ COF এর মধ্যে
OA = OC ( যেহেতু বৃত্তের ব্যাসার্ধ )
AE = CF
এবং [tex]\angle AEO = \angle CFO[/tex]
অতএব Δ AOE [tex] \cong [/tex] Δ COF
সুতরাং আমরা বলতে পারি OE = OF
বৃত্ত ও কোণ সম্পর্কিত কয়েকটি সংজ্ঞা
(১) কেন্দ্রস্থ কোণ : কোনো বৃত্তের কেন্দ্রের সাথে ওই বৃত্তের যেকোনো বৃত্তচাপের প্রান্তবিন্দুদ্বয় যুক্ত করলে যে কোণ উৎপন্ন হয় , তাকে ওই বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ বলে।
O হল একটি বৃত্তের কেন্দ্র। APB বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ হল [tex]\angle AOB[/tex].
(২) পরিধিস্থ কোণ : বৃত্তের কোনো একটি বৃত্তচাপের প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের সাথে উহার বিপরীত বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত কোনো একটি বিন্দু যোগ করলে যে কোণ উৎপন্ন হয় তাকে ওই বৃত্তচাপের অবস্থিত পরিধিস্থ কোণ বলে।
উপরের চিত্রে O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তে APB বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত পরিধিস্থ কোণ হল [tex]\angle ACB,\angle ADB,\angle AEB[/tex] ইত্যাদি। সুতরাং কোনো বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত কেন্দস্থ কোণ একটি এবং পরিধিস্থ কোণ অসংখ্য।
- বৃত্তের উপর অবস্থিত কোণ সম্পর্কে প্রতিজ্ঞাগুলির প্রমাণ ।
The Circle
Tangent - is a line that would pass through one point on the circle.
Secant - is a line that would pass through two points on the circle.
Chord - is a secant that would terminate on the circle itself.
Diameter, d - is a chord that passes through the center of the circle.
Radius, r - is one-half of the diameter.
Area of the circle
[tex] A = \pi \, r^2 [/tex]
[tex] A = \frac{1}{4}\pi \, d^2 [/tex]
Circumference of the circle
[tex] c = 2\pi \, r [/tex]
[tex] c = \pi \, d [/tex]
Sector of a Circle
Length of arc:
[tex] s = \dfrac{\pi \, r \theta_{degree}}{180^\circ} [/tex]
[tex] s = r \, \theta_{radians} [/tex]
Area of the sector:
[tex] A = \dfrac{\pi \, r^2 \theta_{degrees}}{360^\circ} [/tex]
[tex] A = \frac{1}{2}r^2 \, \theta_{radians} [/tex]
[tex] A = \frac{1}{2}sr [/tex]
Segment of a Circle
Area of circular segment with s < ½ c:
[tex] A = A_{sector} - A_{triangle} [/tex]
[tex] A = \frac{1}{2}r^2 (\theta_{radian} - \sin \theta_{degrees}) [/tex]
Area of circular segment with s > ½ c:
[tex] A = A_{sector} + A_{triangle} [/tex]
[tex] A = \frac{1}{2}r^2 (\alpha_{radian} + \sin \theta_{degrees}) [/tex]