উদাহরণ ৮৷ [tex]{x^2} - x - 1 = 0[/tex] এই দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল [tex]\alpha [/tex] হলে, প্রমাণ করো যে তার অন্য মূলটি [tex]{\alpha ^3} - 3\alpha [/tex] হবে। [H.S ‘89]
সমাধানঃ [tex]{x^2} - x - 1 = 0[/tex] এই দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল [tex]\alpha [/tex]।
অতএব
[tex]\begin{array}{l}
{\alpha ^2} - \alpha - 1 = 0\\
\Rightarrow {\alpha ^2} = 1 + \alpha \to \left( 1 \right)
\end{array}[/tex]
মনে করি সমীকরণের অন্য বীজ টি হবে [tex]\beta [/tex] ।
অতএব
[tex]\begin{array}{l}
\alpha + \beta = 1\\
\Rightarrow \beta = 1 - \alpha \to \left( 2 \right)
\end{array}[/tex]
এখন
[tex]\begin{array}{l}
{\alpha ^3} - 3\alpha \\
= \alpha \left( {{\alpha ^2} - 3} \right)\\
= \alpha \left( {1 + \alpha - 3} \right)\left[ {by\left( 1 \right)} \right]\\
= \alpha \left( {\alpha - 2} \right)\\
= {\alpha ^2} - 2\alpha \\
= 1 + \alpha - 2\alpha \left[ {by\left( 1 \right)} \right]\\
= 1 - \alpha \left[ {by\left( 2 \right)} \right]\\
= \beta
\end{array}[/tex]
অতএব [tex]{\alpha ^3} - 3\alpha [/tex] হবে সমীকরণের অন্য বীজ।
