যৌগিক কোণের কোণানুপাত ( Trigonometrical Ratios of Compound Angles )
সূচনা ( Introduction )
দুই বা ততোধিক কোণের বীজগাণিতিক সমষ্টিকে যৌগিক বা মিশ্র ( Compound angle ) কোণ বলে। উদাহরণস্বরূপ A , B ও C তিনটি কোণ হলে ( A+B ) , ( A+C ) , ( B+C ) , ( A-B+C ) ইত্যাদি হল যৌগিক কোণ। এই অধ্যায়ে আমরা যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক কোণানুপাত সম্পর্কে আলোচনা করব।
উপপাদ্য ( Theorem )
উপপাদ্য ১ : A , B এবং ( A+B ) ধনাত্মক সূক্ষকোণ হলে , প্রমাণ করতে হবে যে
- \[\sin \left( {A + B} \right) = \sin A\cos B + \cos A\sin B\]
- \[\cos \left( {A + B} \right) = \cos A\cos B - \sin A\sin B\]
মনে করি ঘূর্ণিয়মান \[\overrightarrow {OX} \] সরলরেখা O বিন্দুকে কেন্দ্র করে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তন করে এবং প্রাথমিক অবস্থান \[\overrightarrow {OX} \] থেকে \[\overrightarrow {OY} \] অবস্থানে এসে \[\angle XOY = A\] সূক্ষকোণ উৎপন্ন করে।
তারপর রেখাটি একই দিকে আবর্তন করে \[\overrightarrow {OY} \] অবস্থান থেকে \[\overrightarrow {OZ} \] অবস্থানে আসে এবং \[\angle YOZ = B\] সূক্ষকোণ উৎপন্ন করে। তাহলে যদি \[\angle XOZ = A + B < {90^ \circ }\] হয়।
প্রমাণ করতে হবে
- \[\sin \left( {A + B} \right) = \sin A\cos B + \cos A\sin B\]
- \[\cos \left( {A + B} \right) = \cos A\cos B - \sin A\sin B\]
অঙ্কন : ( A+B ) যৌগিক কোণের অন্তিম বাহু \[\overrightarrow {OZ} \] ওপর যেকোনো বিন্দু P নেওয়া হল এবং P বিন্দু থেকে [\overrightarrow {OX} \] এবং \[\overrightarrow {OY} \] সরলরেখার উপরে \[\overrightarrow {PQ} \] এবং \[\overrightarrow {PR} \] লম্ব টানা হল। তারপর R বিন্দু থেকে \[\overrightarrow {OX} \] এবং \[\overrightarrow {PQ} \] এর ওপর যথাক্রমে \[\overrightarrow {RS} \] এবং \[\overrightarrow {RT} \] লম্ব টানা হল।
প্রমাণ : স্পষ্টতই \[\angle TPR + \angle PRT = {90^ \circ }\]
এবং \[\angle ORT + \angle PRT = {90^ \circ }\]
সুতরাং \[\angle TPR = \angle ORT = \] একান্তর \[\angle ROX = A\]
এখন সমকোণী ত্রিভুজের POQ থেকে পাই
\[\begin{array}{l}
\sin \left( {A + B} \right)\\
= \frac{{\overrightarrow {PQ} }}{{\overrightarrow {OP} }} = \frac{{\overrightarrow {PT} + \overrightarrow {TQ} }}{{\overrightarrow {OP} }} = \frac{{\overrightarrow {PT} }}{{\overrightarrow {OP} }} + \frac{{\overrightarrow {TQ} }}{{\overrightarrow {OP} }} = \frac{{\overrightarrow {PT} }}{{\overrightarrow {OP} }} + \frac{{\overrightarrow {RS} }}{{\overrightarrow {OP} }}\\
= \frac{{\overrightarrow {PT} }}{{\overrightarrow {PR} }} \cdot \frac{{\overrightarrow {PR} }}{{\overrightarrow {OP} }} + \frac{{\overrightarrow {RS} }}{{\overrightarrow {OR} }} \cdot \frac{{\overrightarrow {OR} }}{{\overrightarrow {OP} }}\\
= \cos A\sin B + \sin A\cos B\\
= \sin A\cos B + \cos A\sin B
\end{array}\]
- 247 views
