দ্বিতীয় অধ্যায়ঃ করণী (surds)

করণী(surds)

►মূলদ সংখ্যা : যদি কোনো সংখ্যা কে p/q (p,q অখণ্ড সংখ্যা ,q≠0) আকারে প্রকাশ করা যায় তাহলে ঐ সংখ্যা কে মূলদ সংখ্যা (rational number) বা প্রমেয় রাশি (commensurable quantity)বলে।

উদাহরন:-[tex]2 \over 5[/tex], 0, .16, √25 ইত্যাদি।
(শূন্য সংখ্যাটি অবশ্যই মূলদ সংখ্যা)

►অমূলদ সংখ্যা: যে সব সংখ্যা কে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না তাদের কে অমূলদ সংখ্যা (irrational number) বা অমেয় রাশি (incommensurable quantity) বলে।
উদাহরন:- √2, ∛5 ইত্যাদি।

করণী একটি ধনাত্মক রাশির কোনো মূল সঠিক ভাবে নির্ণয় করা সম্ভব না হলে সেই মূলক কে করণী বলে।
উদাহরণ:√2 , ∛5 ইত্যাদি।

করণীর সংজ্ঞা থেকে বোঝা যায় যে করণী ও অমেয় রাশি।কিন্তু √25, [tex]\sqrt[2]{7}[/tex] ইত্য।দি করণীর অকারে প্রাকাশিত হলে ও এরা প্রমেয় রাশি।

√ চিহ্ন দ্বারা করণী প্রকাশ করা হয় এই চিহ্নটি কে করণী চিহ্ন (radical sign) বলে।

►করণী ক্রম (Order of Surds) : কোনো করণীর মূল সূচক সংখ্যা কে ঐ করণীর ক্রম(order) বলা হয়।
উদাহরণ:-√2, [tex]\sqrt[7]{7}[/tex], [tex]\sqrt[n]{9}[/tex] ইত্যাদি, এখানে √2 হল দ্বিতীয় ক্রমের করণী। [tex]\sqrt[7]{7}[/tex] হল সপ্তম ক্রমের করণী। [tex]\sqrt[n]{9}[/tex] হল n তম ক্রমের করণী।

►বিভিন্ন পকার করণী(Different types of Surds)

১. সমমূলীয় ও অসমমূলীয় করণী(Equiradical and unequiradical surds):
একাধিক করণী ক্রম সমান হলে তাদের সমমূলীয় করণী বলে।যেমন: ∛3, [tex]{15^{\frac{1}{3}}}[/tex], 3∛2 ইত্যাদি।এদের এদের প্রত্যেকের করণী ক্রম 3।এদের কে সমমূলীয় করণী বলে।অন্যভাবে একাধিক করণী ক্রম সমান না হলে অসমমূলীয় করণী বলে। যেমন: √2, ∛3, [tex]\sqrt[7]{7}[/tex]এদের করণী ক্রম যথাক্রমে 2, 3, 7 তাই এরা অসমমূলীয় করণী বলে।

কিন্তু অসমমূলীয় করণী কে সমমূলীয় করণীর আকারে প্রকাশ করা যায়।যেমন: ∛5, √2, [tex]\sqrt[7]{7}[/tex] ইত্যাদি হল অসমমূলীয় করণী।এদের কে সমমূলীয় আকারে প্রকাশ করলে হয় [tex]\sqrt[{42}]{{{5^{14}}}}[/tex], [tex]\sqrt[{42}]{{{2^{21}}}}[/tex], [tex]\sqrt[{42}]{{{7^{6}}}}[/tex] ।

২. শুদ্ধ করণী ও মিশ্র করণী (Pure and mixed surds):
যে সমস্ত করণীর মূলদ সংখ্যা কেবলমাত্র 1 তাদেরকে শুদ্ধ করণী বলা হয়।যেমন: ∛3, √2, [tex]{15^{\frac{1}{3}}}[/tex] ইত্যাদি।অন্যভাবে যে সমস্ত করণীর মূলদ সংখ্যা 1ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা তাদের কে মিশ্র করণী বলে।যেমন: 3√2, 5∛3 ইত্যাদির মূলদ সংখ্যা যথাক্রমে 3, 5।

৩. সরল করণী ও যৌগিক করণী(Simple and compound surds):
একমাত্র পদ বিশিষ্ট করণীকে সরল করণী বা একপদী করণী(monomial surd) বলে।যেমন: ∛3, [tex]{15^{\frac{1}{3}}}[/tex], √2, [tex]\sqrt[7]{7}[/tex] ইত্যাদি।দুই বা ততোধিক সরল করণী “+” বা ”_” চিহ্ন দ্বারা যুক্ত হলে যে করণী পাওয়া যায় তাকে যৌগিক করণী বলে। যেমন: (√2+√5), (2√3-3√2) ইত্যাদি।

৪. সদৃশ করণী ও অসদৃশ করণী(Similar and dissimilar surds)
দুই বা ততোধিক করণী একই অমূলদ উৎপাদক বিশিষ্ট হলে তাদেরকে সদৃশ করণী বলে।যেমন: 2√5, √125, √5 এদের প্রত্যকের অমূলক উৎপাদক হল √5।তাই এরা হল সদৃশ করণী।অন্যভাবে দুই বা ততোধিক করণীর অমূলক উৎপাদক যদি বিভিন্ন হয় তাদেরকে অসদৃশ করণী বলে।যেমন: 3√2, 5√5 ,√7 ইত্যাদি।

►করণীর যোগফল ও বিয়োগফল(Addition and subtraction of Surds)
করণীর যোগফল বা বিয়োগফল নির্ণয় করতে হলে নিম্নলিখিত পদ্ধতি অবলম্বন করতে হবে।
১৷ প্রত্যেকটি করণীকে তার সরলতম আকারে প্রকাশ করতে হবে অর্থাৎ যে সমস্ত করণীগুলিকে তার সরলতম মিশ্র করণীতে প্রকাশ করা যায় সেগুলে সেভাবে প্রকাশ করতে হবে।

২৷ সদৃশ করণীগুলির ক্ষেত্রে সদৃশ করণীগুলির মুলদ সহগগুলির যোগফল বা বিয়োগফল নির্ণয় করে করণীটির বামদিকে গুনকরূপে লিখে যোগফল বা বিয়োগফল নির্ণয় করা হয়।

৩৷ অসদৃশ করণীগুলির ক্ষেত্রে যোগফল বা বিয়োগফল যথাক্রমে “+” বা “_” চিহ্নসহ কোনো পরিবর্তন না করে সাধারনত একাধিক পদের সাহায্যে প্রকাশ করা হয়।

উদাহরণ:- [tex]\sqrt 5 + 3\sqrt 2 + 2\sqrt 5 - \sqrt 2 [/tex]

[tex]\begin{array}{l}\sqrt 5 + 3\sqrt 2 + 2\sqrt 5 - \sqrt 2 \\ = 3\sqrt 5 + 2\sqrt 2 \end{array}[/tex]

উদাহরণ:- [tex]2\sqrt[3]{5} - \sqrt[3]{{54}} + 3\sqrt[3]{{16}} - \sqrt[3]{{625}}[/tex]

[tex]\begin{array}{l} 2\sqrt[3]{5} - \sqrt[3]{{54}} + 3\sqrt[3]{{16}} - \sqrt[3]{{625}}\\= 2\sqrt[3]{5} - \sqrt[3]{{2 \times 27}} + 3\sqrt[3]{{2 \times 8}} - \sqrt[3]{{125 \times 5}}\\= 2\sqrt[3]{5} - 3\sqrt[3]{2} + 3 \times 2\sqrt[3]{2} - 5\sqrt[3]{5}\\ = 2\sqrt[3]{5} - 5\sqrt[3]{5} - 3\sqrt[3]{2} + 6\sqrt[3]{2}\\ = 3\sqrt[3]{2} - 3\sqrt[3]{5} \end{array}[/tex]

►করণীর গুন(Multiplication of surds)
দুই বা ততোধিক করণীর গুনফল নিম্নলিখিত পদ্ধতিতে করা হয়।

১৷ প্রত্যেকটি করণীকে তার সরলতম আকারে প্রকাশ করতে হবে অর্থাৎ যে সমস্ত করণীগুলিকে তার সরলতম মিশ্র করণীতে প্রকাশ করা যায় সেগুলে সেভাবে প্রকাশ করতে হবে।

২৷ যদি করণীগুলি সমমূলীয় হয় তবে সেক্ষেত্রে মূলদ সহগগুলির গুনফল নির্ণয় করতে হবে এবং তার ডানদিকে গুনকরূপে লিখলে অমূলদ সহগগুলির গুনফল নির্ণয় করে লিখলে সমমূলীয় করণীর গুনফল পাওয়া যায়।

৩৷ যদি করণীগুলি অসমমূলীয় হয় তবে সেক্ষেত্রে ঐ করণীগুলিকে সমমূলীয় করণীর আকারে প্রকাশ করতে হবে তারপর সমমূলীয় করণীর গুনফলের নিয়ম অনুযায়ী গুনফল নির্ণয় করতে হবে।

উদাহরণ:- [tex]\sqrt 2 \times \sqrt 3 \times \sqrt 5[/tex]

[tex]\begin{array}{l} \sqrt 2 \times \sqrt 3 \times \sqrt 5 \\ = \sqrt {2 \times 3 \times 5} \\= \sqrt {10} \end{array}[/tex]

উদাহরণ:- [tex]3\sqrt 2 \times \sqrt[3]{5} \times 5\sqrt[4]{7}[/tex]

[tex]\begin{array}{l} 3\sqrt 2 \times \sqrt[3]{5} \times 5\sqrt[4]{7}\\= 3\sqrt[{12}]{{{2^6}}} \times \sqrt[{12}]{{{5^4}}} \times 5\sqrt[{12}]{{{7^3}}}\\= 3\sqrt[{12}]{{64}} \times \sqrt[{12}]{{625}} \times 5\sqrt[{12}]{{343}}\\= 3 \times 5\sqrt[{12}]{{64 \times 625 \times 343}}\\= 15\sqrt[{12}]{{13720000}} \end{array}[/tex]

►করণী নিরসন(Rationalisation of Surds)
যে পদ্ধতিতে একটি প্রদত্ত করণীকে মূলদ রাশিতে পরিনত করতে অন্য একটি উপযুক্ত করণী দ্বারা গুন করতে হয় তাকে করণী নিরসন বলে।

উদাহরণ:-2√3 এই করণীকে মূলদ রাশিতে পরিনত করতে হলে √3 দ্বারা গুন করতে হয়।
[2√3×√3=2×3=6]

►করণীর ভাগ (Division of surds)
একটি করীকে অন্য একি করণী দ্বারা ভাগ করতে হলে নিম্নলিখিত পদ্ধতিতে করা হয়।
১৷ ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করতে হয়।
২৷করণী নিরসন পদ্ধতিতে হরের করণীকে করণী নিরসন করতে হয়।

উদাহরণ:- √3÷√2
√3÷√2
=√3/√2
=(√3×√2)/(√2 ×√2)
=√(3×2)/√(2×2)
=√6/2

►প্রতিযোগী বা অনুবন্ধী বা পূরক করণী(Conjugate Complementary Surds)
দুটি দ্বিঘাত সরল করণীর যোগফল ও বিয়োগফলকে একে অন্যটির প্রতিযোগী বা অনুবন্দী বা পূরক করণী বলে।

উদাহরণ:- √3 ও √2 হল দুটি দ্বিঘাত সরল করণী।এদের যোগফল ও বিয়োগফল হল যথাক্রমে √3+√2, √3-√2। সুতরাং √3+√2, √3-√2 হল একে অন্যটির প্রতিযোগী বা অনুবন্দী বা পূরক করণী

►দ্বিঘাত করণীর কয়েকটি ধর্ম(Some properties of quadratic surds)

১৷ দুটি অসদৃশ দ্বিঘাত করণীর গুনফল মূলদ রাশি হতে পারে না

মনে করি √(x ) ,√y দুটি অসদৃশ দ্বিঘাত করণী।
আমাদের এখন প্রমান করতে হবে √(x )×√y মূলদ রাশি হবে না।
মনে করি √(x )×√y=m হল মূলদ রাশি।
সুতরাং √y= m/√x= (m×√x)/(√x ×√x)=m/x √x
√y = (মূলদ রাশি)×√x [যেহেতু m/x হল মূলদ রাশি]
অতএব √(x ) ,√y দুটি করনী সদৃশ যা কল্পনাবিরোধী।
সুতরাং √(x )×√y এটি কখনও মূলদ রাশি হতে পারেনা।
অতএব প্রমানিত যে দুটি অসদৃশ দ্বিঘাত করণীর গুনফল মূলদ রাশি হবে না।

২৷ একটি সরল দ্বিঘাত করণী কখনও একটি মূলদ রাশি ও একটি দ্বিঘাত করণীর যোগফল বা অন্তরফল সমান হতে পারে না।

মনে করি √(x ) হল একটি সরল দ্বিঘাত করণী।
ধরি
যেখানে a হল একটি মূলদ রাশি ও √b হল একটি দ্বিঘাত করণী।

দেখা যাছে √b হল মূলদ সংখ্যা যা অ আমাদের কল্পনাবিরোধী ।
অতএব প্রমানিত একটি সরল দ্বিঘাত করণী কখনও একটি মূলদ রাশি ও একটি দ্বিঘাত করণীর যোগফলের সমান হতে পারে না।
অনুরূপে প্রমান করা যায় একটি সরল দ্বিঘাত করণী কখনও একটি মূলদ রাশি ও একটি দ্বিঘাত করণীর অন্তরফলের সমান হতে পারে না।

৩৷একটি সরল দ্বিঘাত করণী কখনও দুটি অসদৃশ সরল দ্বিঘাত করণীর যোগফল বা অন্তরফলের সমান হতে পারে না।

মনে করি √(x ) হল একটি সরল দ্বিঘাত করণী।
ধরি [tex]\sqrt x = \sqrt a + \sqrt b [/tex]
যেখানে √(a ) , √(b ) হল দুটি অসদৃশ সরল দ্বিঘাত করণী।

যেহেতু √(a ) , √(b ) হল দুটি অসদৃশ সরল দ্বিঘাত করণী।তাই √(a b) ও করণী হবে।কিন্তু দেখা যাছে √(a b) একটি মূলদ সংখ্যা যা কল্পনাবিরোধী।অতএব প্রমানিত একটি সরল দ্বিঘাত করণী কখনও দুটি অসদৃশ সরল দ্বিঘাত করণীর যোগফলের সমান হতে পারে না।অনুরূপে প্রমান করা যায় একটি সরল দ্বিঘাত করণী কখনও দুটি অসদৃশ সরল দ্বিঘাত করণীর অন্তরফলের সমান হতে পারে না।

৪৷ a ও x উভয়েই মূলদ রাশি , √(b ) ও √y উভয়েই করণী এবং a+√b = x+√y হলে a=x ও b=y হবে।

মনে করি a ও x সমান নয়।
ধরি [tex]x = a + m[/tex] , যেখানে m একটি মূলদ রাশি।
অতএব

[tex]\begin{array}{l} a + \sqrt b = x + \sqrt y \\ \Rightarrow a + \sqrt b = a + m + \sqrt y \\\Rightarrow \sqrt b = m + \sqrt y \end{array}[/tex]
কিন্তু এটি অসম্ভব কারণ দ্বিঘাত করণীর দ্বিতীয় ধর্ম থেকে।
অতএব a=x
আবার a=x হলে [tex]a + \sqrt b = x + \sqrt y[/tex] থেকে পাই , [tex]\sqrt b = \sqrt y[/tex] বা b = y

সংক্ষিপ্তকরণ(Summarisation)
১৷একটি ধনাত্মক রাশি কোনো মূল সঠিকভাবে নির্ণয় করা সম্ভব না হলে সেই মূলকে করণী বলে।
২৷কোনো করণীর মূল সূচক সংখ্যা n হলে তাকে nতম ক্রমের করণী বলে।
৩৷কয়েকটি করণীর মূল সমান হলে তাদেরকে সমমূলীয় করণী বলে এবং সমান না হলে তাদেরকে অসমমূলীয় করণী বলে।
৪৷কোনা করণীর মূলদ সহগ এক হলে তাকে শুদ্ধ করণী এবং মূলদ সহগ এক ছাড়া অন্য কিছু হলে তাকে মিশ্র করণী বলে।
৫৷একটিমাত্র পদ বিশিষ্ট করণীকে সরল করণী এবং দুই বা ততোধিক সরল করণী “+” ,”_”চিহ্নসহ যুক্ত থাকলে তাকে যৌগিক করণী বলে।
৬৷দুই বা ততোধিক করণী একই অমূলদ উৎপাদক বিশিষ্ট হলে তাকে সদৃশ করণী এবং বিভিন্ন অমূলক উৎপাদক বিশিষ্ট হলে তাকে অসদৃশ করণী বলে।
৭৷একটি করণীকে অন্য একটি উপযুক্ত করণী দ্বারা গুন করে মূলদ রাশিতে পরিণত করার পদ্ধতিকে করণী নিরসন বলে।
৮৷দুটি দ্বিঘাত সরল করণীর যোগফল ও বিয়োগফলের একটিকে অন্যটির প্রতিযোগী বা অনুবন্ধী বা পূরক করণী বলে।
৯৷ a+√(b )=x+√y হলে a=x ও b=y হবে।এখানে a ও x উভয়েই মূলদ রাশি , √(b ) ও √y উভয়েই করণী।
১০৷ a-√(b )=x-√y হলে a=x ও b=y হবে।
১১৷ a+√(b )=0 হলে a=0 ও b=0 হবে।