বিন্যাস ও সমবায় ( Permutation and Combination )

বিন্যাস ও সমবায় (Permutation and Combination)

ভূমিকা (Introduction) :- গণিতে সজ্জা (Arrangement) বা নির্বাচন (Selection) খুবই গুরুত্বপূর্ণ অংশ । অনেক সময় আমরা এমন অবস্থাতে পড়ি যেখানে, বস্তু সমূহের বিভিন্ন সজ্জা বা নির্বাচন সম্পর্কে আমাদের ধারণা প্রয়োগ করতে হয় । যেমন সংখ্যাগুলিকে একাধিক বার ব্যবহার না করে 1, 2, 3 দ্বারা আমরা কতগুলি দুই অঙ্কের সংখ্যা গঠন করতে পারি । দুই অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যা গুলি হল 12, 13, 23, 21, 31 এবং 32 । অর্থাৎ ছয়টি সংখ্যা গঠন করা যায় । কিংবা তিনজন ছাত্র x, y, z আছে তাদের মধ্যে থেকে কতরকম ভাবে দুজনকে নির্বাচন করা যায় । স্পষ্টত আমরা xy, xz, yz তিন রকম ভাবে নির্বাচন করতে পারি । প্রথম উদাহরণের ক্ষেত্রে 12 এবং 21,13 এবং 31, 23 এবং 32 ভিন্ন সংখ্যা । কিন্তু দ্বিতীয় উদাহরণের ক্ষেত্রে xy এবং yx অভিন্ন, অনুরূপে xz এবং zx ও yz এবং zy হল অভিন্ন ।

উল্লেখিত উদাহরণের প্রথমটি হল বস্তুসমূহের সজ্জা বা বিন্যাস (Arrangement or Permutation) এবং দ্বিতীয়টি হল নির্বাচন বা সমবায় (Selection or Combination) । এই অধ্যায়ে আমরা বস্তুসমূহের বিন্যাস (Permutation) এবং সমবায় (Combination) সংক্রান্ত আলোচনা করবো ।

বিন্যাস (Permutation)

কতগুলি প্রদত্ত বস্তুর মধ্যে থেকে কয়েকটি বা সবগুলি একসঙ্গে নিয়ে যতভাবে সাজানো যায়, তাদের প্রত্যেকটিকে এক একটি বিন্যাস (Permutation) বলে । বিন্যাস দুরকম হয় (১) রৈখিক বিন্যাস ( Linear Permutation ) , (২) বৃত্তাকার বিন্যাস ( Circular Permutation ) .

রৈখিক বিন্যাস ( Linear Permutation )

বস্তুসমূহকে একটি রেখা বা সারি বরাবর বিভিন্ন রকমভাবে বিন্যাস করলে তাকে রৈখিক বিন্যাস ( Linear Permutation ) বলে। বিন্যাস সংক্রান্ত বিষয় সম্পর্কে জানতে হলে আমাদের সংযোজনের মূলনীতি (Fundamental principle of association) সম্পর্কে জ্ঞান লাভ করতে হবে ।

সংযোজনের মূলনীতি (Fundamental principle of association):- যদি কোনো একটি প্রক্রিয়া m বিভিন্ন উপায়ে সম্পন্ন করা যায় এবং m প্রকারের কোনো এক প্রকারে তা সম্পন্ন করার পর, দ্বিতীয় এক প্রক্রিয়া n বিভিন্ন প্রকারে সম্পন্ন করা যায়, তবে সম্মিলিতভাবে প্রক্রিয়াটি [tex]m \times n[/tex] বিভিন্ন প্রকারে করা যাবে ।

এই প্রতিজ্ঞাটি দুই এর বেশি প্রক্রিয়ার ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য । কোনো এক প্রক্রিয়া m বিভিন্ন উপায়ে, দ্বিতীয় একটি প্রক্রিয়া n বিভিন্ন উপায়ে, তৃতীয় একটি প্রক্রিয়া p বিভিন্ন উপায়ে ইত্যাদি সম্পন্ন করা যায়, তবে মিলিতভাবে প্রক্রিয়াগুলি [tex]m \times n \times p[/tex] ইত্যাদি উপায়ে সম্পন্ন করা যাবে ।

উদাহরণ 1. মনে করো, ঢাকুরিয়া থেকে ধর্মতলা পর্যন্ত 6 টি বিভিন্ন বাসরুট আছে । তুমি ঢাকুরিয়া থেকে ধর্মতলা যে বাসে যাও, ফিরে আসার সময় তুমি অন্য বাসে ফিরে আস । তুমি ঢাকুরিয়া ও ধর্মতলা যাতায়াত কত বিভিন্ন রকমে করতে পারো ?

সমাধান : ঢাকুরিয়া থেকে ধর্মতলা যাওয়ার জন্য 6 টি বিভিন্ন প্রকারের বাসরুট আছে । সুতরাং 6 প্রকারভাবে ঢাকুরিয়া থেকে ধর্মতলায় আসা যায় । আবার যে বাসে তুমি ঢাকুরিয়া থেকে ধর্মতলায় আসো ফেরার সময় সেই বসে না ফিরে অন্য বাসে ফের । সুতরাং 5 প্রকারভাবে ধর্মতলা থেকে ঢাকুরিয়ায় ফিরে যাওয়া যায় । অতএব ঢাকুরিয়া ও ধর্মতলায় যাতায়াতের কাজ মোট [tex]6 \times 5 = 30[/tex] রকমভাবে করতে পারবে ।

উদাহরণ 2. ভ্রমণে বেরিয়ে তিনটি পরিবার একটি হোটেলে উপস্থিত হল । হোটেলে 5টি ফাঁকা ঘর আছে । কত বিভিন্ন উপায়ে পরিবার তিনটি একটি করে ঘর দখল করতে পারে ?

সমাধান : স্পটতই প্রথম পরিবার 5টি ফাঁকা ঘরের যেকোন একটি ঘর দখল করতে পারে । সুতরাং 5 রকম ভাবে প্রথম পরিবার ঘর দখল করতে পারে । দ্বিতীয় পরিবারের ক্ষেত্রে তখন 4টি ঘর ফাঁকা থাকে । তাই দ্বিতীয় পরিবার 4 রকম ভাবে ঘর দখল করতে পারে । অনুরূপে তৃতীয় পরিবারের ক্ষেত্রে 3টি ঘর পড়ে থাকে এবং তৃতীয় পরিবার 3 রকম ভাবে ঘর দখল করতে পারে । অতএব প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় পরিবার মিলিতভাবে [tex]5 \times 4 \times 3 = 60[/tex] রকমভাবে ঘর দখল করতে পারে ।

(A) n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে r সংখ্যক বস্তু একযোগে নিয়ে বিন্যাসের সংখ্যা নির্ণয় ( [tex]r \le n[/tex] ) [ To find the number of permutations of n different things taken r numbers of things at a time ( [tex]r \le n[/tex] ) ]

n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুকে r সংখ্যক বিভিন্ন স্থানে যতভাবে সাজানো যায়, সেটাই হবে n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে একযোগে r সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুর নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা ।

স্পষ্টতই r সংখ্যক স্থানের প্রথম স্থানটি n সংখ্যক বস্তুর যেকোন একটি বস্তু দিয়ে n রকম উপায়ে পূর্ণ করা যায় । সুতরাং প্রথম স্থানটি n বিভিন্ন রকম ভাবে পূর্ণ করা যায় । প্রথম স্থান পূর্ণ হওয়ার পর (n - 1) সংখ্যক স্থান অবশিষ্ট থাকে । সুতরাং প্রথম স্থানটি পূর্ণ হওয়ার পর দ্বিতীয় স্থানটি (n - 1) রকম ভাবে পূর্ণ করা যায় । আবার দ্বিতীয় স্থান পূর্ণ হওয়ার পর অবশিষ্ট স্থানের সংখ্যা হল (n - 2) সংখ্যক । অনুরূপে তৃতীয় স্থানটি পূর্ণ করা যায় (n - 2) রকম উপায়ে । এই ভাবে r সংখ্যক স্থান পূর্ণ করা যাবে (n - r + 1) রকমভাবে ।

অতএব প্রথম, দ্বিতীয়, তৃতীয় এইভাবে r সংখ্যক স্থান পূর্ণ করা যায়

[tex]n \cdot \left( {n - 1} \right) \cdot \left( {n - 2} \right) \cdot \left( {n - 3} \right) \cdot ...............\left( {n - r + 1} \right)[/tex] রকমভাবে ।

অতএব n সংখ্যক বস্তু থেকে r সংখ্যক বস্তুর একযোগে নিয়ে বিন্যাসের সংখ্যা হল

[tex]n \cdot \left( {n - 1} \right) \cdot \left( {n - 2} \right) \cdot \left( {n - 3} \right) \cdot ...............\left( {n - r + 1} \right)[/tex].......(i)

যখন r = n, অর্থাৎ n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুর সবগুলিকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা

[tex]\begin{array}{l}
n \cdot \left( {n - 1} \right) \cdot \left( {n - 2} \right) \cdot \left( {n - 3} \right) \cdot ...............\left( {n - n + 1} \right)\\
= n \cdot \left( {n - 1} \right) \cdot \left( {n - 2} \right) \cdot \left( {n - 3} \right) \cdot ......3 \cdot 2 \cdot 1\\
= n!
\end{array}[/tex]

[ 1 থেকে আরম্ভ করে n পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলকে n! প্রতীক দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং এই প্রতীককে অঙ্কের ভাষায় Factorial n বলে ।

n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুর ক্ষেত্রে r সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুর একযোগে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যাকে [tex]{}^n{P_r}[/tex] বা [tex]{}_n{P_r}[/tex] বা [tex]P\left( {n,r} \right)[/tex] দ্বারা সূচিত করা হয় । ]

অতএব [tex]{}^n{P_r}[/tex] = [tex]n \cdot \left( {n - 1} \right) \cdot \left( {n - 2} \right) \cdot \left( {n - 3} \right) \cdot ...............\left( {n - r + 1} \right)[/tex]

দ্রষ্টব্য

(১) [tex]{}^n{P_r}[/tex] = [tex]n \cdot \left( {n - 1} \right) \cdot \left( {n - 2} \right) \cdot \left( {n - 3} \right) \cdot ...............\left( {n - r + 1} \right)[/tex]

বা [tex]{}^n{P_r} = \frac{{n \cdot \left( {n - 1} \right) \cdot \left( {n - 2} \right) \cdot ...............\left( {n - r + 1} \right).......3 \cdot 2 \cdot 1}}{{\left( {n - r} \right) \cdot \left( {n - r - 1} \right) \cdot .......3 \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{{n!}}{{\left( {n - r} \right)!}}[/tex]

(২) 0! এর মান অর্থহীন হলেও একে 1 ধারা হয়।

(B) সবগুলি বিভিন্ন নয় এমন n সংখ্যক বস্তুর সবগুলিকে একত্রে নিয়ে বিন্যাসের সংখ্যা নির্ণয় [ To find the numbers of permutations of n things taken them all at a time when the things are not all different ]

মনে করি n সংখ্যক বস্তু হল n সংখ্যক অক্ষর এবং এদের মধ্যে p সংখ্যক হল a অক্ষর , q সংখ্যক হল b অক্ষর , r সংখ্যক হল c অক্ষর এবং বাকি অক্ষর গুলি হল সবাই ভিন্ন।

মনে করি , নির্ণেয় বিন্যাসের সংখ্যা হল x .

এখন x সংখ্যক বিন্যাসের প্রত্যেকটিতে p সংখ্যক a অক্ষর আছে। যদি p সংখ্যক a বাদে বাকি অক্ষর গুলি নিজেদের স্থানে অপরিবর্তিত থাকে , তবে সেই বিন্যাসের সংখ্যা হবে p! . সুতরাং x সংখ্যক বিন্যাসের প্রত্যেকটি থেকে p! সংখ্যক বিন্যাস পাওয়া যাবে। সেই জন্য মোট বিন্যাসের সংখ্যা হবে [tex]x \times p![/tex] .

অনুরূপে [tex]x \times p![/tex] সংখ্যক বিন্যাসের প্রত্যেকটিতে q সংখ্যক b অক্ষর আছে। যদি q সংখ্যক b অক্ষর বাদে বাকি অক্ষর গুলি নিজেদের স্থানে অপরিবর্তিত থাকে , তবে সেই বিন্যাসের সংখ্যা হবে q! . সুতরাং [tex]x \times p![/tex] সংখ্যক বিন্যাসের প্রত্যেকটি থেকে q! সংখ্যক বিন্যাস পাওয়া যাবে। সেই জন্য মোট বিন্যাসের সংখ্যা হবে [tex]x \times p! \times q![/tex] .

r সংখ্যক c এর ক্ষেত্রে আমরা মোট [tex]x \times p! \times q! \times r![/tex] সংখ্যক বিন্যাস পাই।

উপরিউক্ত পদ্ধতিতে n সংখ্যক অক্ষরের মোট বিন্যাস সংখ্যা হল n! .

অতএব [tex]n! = x \times p! \times q! \times r! \Rightarrow x = \frac{{n!}}{{p! \times q! \times r!}}[/tex]

(C) যদি প্রত্যেক বস্তুকে r বার পর্যন্ত নেওয়া যায় , তবে n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে r সংখ্যক বস্তু একযোগে নিয়ে বিন্যাসের সংখ্যা নির্ণয় [ To find the number of permutations of n different things taking r number of things at a time when each thing may be repeated once , twice , ........... upto r times in any arrangement ]

মনে করি n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু যেন n সংখ্যক অক্ষর। স্পষ্টতই n সংখ্যক বিভিন্ন অক্ষরের সাহায্যে r সংখ্যক শূন্যস্থান মোট যতরকম ভাবে পূর্ণ করা যায় ( প্রত্যেক অক্ষর একবার , দুবার , ...............r বার পর্যন্ত নিয়ে ) তাই হবে নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা।

এখন প্রথম স্থানটি n বিভিন্ন উপায়ে পূর্ণ করা যায় কারণ n সংখ্যক বিভিন্ন অক্ষরের যেকোনো একটি অক্ষরকে ওই স্থানে বসানো যায়। দ্বিতীয় স্থানটি একই রকমভাবে n বিভিন্ন উপায়ে পূর্ণ করা যায় কারণ প্রথম স্থানে যে অক্ষর রয়েছে দ্বিতীয় স্থানে তা বসানো চলে। সুতরাং প্রথম ও দ্বিতীয় স্থানে মোট [tex]n \times n = {n^2}[/tex] উপায়ে পর্ণ করা যায়। অনুরূপে আমরা দেখতে পারি প্রথম , দ্বিতীয় ও তৃতীয় স্থান মোট [tex]n \times n \times n = {n^3}[/tex] উপায়ে পূর্ণ করা যায়।

এই ভাবে অগ্রসর হলে আমরা বলতে পারি , r সংখ্যক স্থান মোট [tex]{n^r}[/tex] উপায়ে পূর্ণ করা যায়। সুতরাং নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = [tex]{n^r}[/tex] .

(D) শর্তারোপিত বিন্যাস ( Restricted permutation )

• n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে একযোগে r সংখ্যক বস্তুর বিন্যাস হবে [tex]{}^{n - m}{P_r}[/tex] , যখন m সংখক বিশেষ বস্তু কখনই থাকবে না এবং [tex]n - m \ge r[/tex].
• n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে একযোগে r সংখ্যক বস্তুর বিন্যাস হবে [tex]{}^r{P_m} \times {}^{n - m}{P_{r - m}}[/tex] , যখন m সংখ্যক বিশেষ বস্তু সর্বদা থাকবে।
• n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে একযোগে r সংখ্যক বস্তুর বিন্যাস হবে [tex]{}^{n - m}{P_{r - m}}[/tex] , যখন m সংখ্যক বিশেষ বস্তু আগে থেকে নির্দিষ্ট স্থানে থাকবে।
• n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে একযোগে r সংখ্যক বস্তুর বিন্যাস হবে [tex]m! \cdot {}^{n - m}{P_{r - m}}[/tex] , যখন m সংখ্যক বিশেষ বস্তু আগে থেকে নির্দিষ্ট স্থানে যেকোন ক্রমে থাকবে।
• n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে একযোগে r সংখ্যক বস্তুর বিন্যাস হবে [tex]\left( {r - m + 1} \right) \cdot {}^{n - m}{P_{r - m}}[/tex] , যখন m সংখ্যক বিশেষ বস্তু একটি নির্দিষ্ট ক্রমে একত্রে থাকবে।

সংক্ষিপ্তকরণ ( Summarisation )

1. n! = n( n - 1 )( n - 2 )...........3 . 2 . 1
2. 0! = 1
3. [tex]{}^n{P_r} = \frac{{n!}}{{\left( {n - r} \right)!}} = n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)........\left( {n - r + 1} \right)[/tex]= n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে একযোগে r সংখ্যক বস্তুর বিন্যাস সংখ্যা।
4. [tex]^n{P_n} = n![/tex] = n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুর সবগুলি একত্রে নিয়ে বিন্যাস।
5. n সংখ্যক অক্ষরের মধ্যে p সংখ্যক a অক্ষর , q সংখ্যক b অক্ষর , r সংখ্যক c অক্ষর এবং অন্যান্য অক্ষর গুলি বিভিন্ন হলে সবগুলি একত্রে নিয়ে বিন্যাসের সংখ্যা = [tex]\frac{{n!}}{{p! \times q! \times r!}}[/tex]
6. n সংখ্যক বস্তুর মধ্যে প্রত্যেকটি বস্তু r বার পর্যন্ত বারবার আসে , তবে n সংখ্যক বস্তু থেকে একযোগে r সংখ্যক বস্তুর বিন্যাস সংখ্যা = [tex]{n^r}[/tex]
7. [tex]n! = n \cdot \left( {n - 1} \right)! = n \cdot \left( {n - 1} \right) \cdot \left( {n - 2} \right)![/tex]

উদাহরণ 3. (i) [tex]{}^{4 - x}{P_2} = 6[/tex] হলে x =? [H.S. '99]

(ii) দেখাও যে [tex]{}^n{P_r} = n \cdot {}^{n - 1}{P_{r - 1}} = \left( {n - r + 1} \right) \cdot {}^n{P_{r - 1}}[/tex] [H.S. '99]

(iii) [tex]{}^{n + r + 1}{P_2} = 72[/tex] এবং [tex]{}^{n - r}{P_2} = 12[/tex] হলে n ও r এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান : (i)

[tex]\begin{array}{l}
{}^{4 - x}{P_2} = 6\\
\Rightarrow \frac{{\left( {4 - x} \right)!}}{{\left( {4 - x - 2} \right)!}} = 6\\
\Rightarrow \frac{{\left( {4 - x} \right) \cdot \left( {4 - x - 1} \right).\left( {4 - x - 2} \right)!}}{{\left( {4 - x - 2} \right)!}} = 6\\
\Rightarrow \left( {4 - x} \right).\left( {4 - x - 1} \right) = 6\\
\Rightarrow {\left( {4 - x} \right)^2} - 4 + x = 6\\
\Rightarrow 16 - 8x + {x^2} - 4 + x - 6 = 0\\
\Rightarrow {x^2} - 7x + 6 = 0\\
\Rightarrow {x^2} - \left( {6 + 1} \right)x + 6 = 0\\
\Rightarrow \left( {x - 6} \right).\left( {x - 1} \right) = 0\\
\Rightarrow x = 1
\end{array}[/tex]

যেহেতু ( 4 - x ) এর মান কখনও ঋণাত্মক হবেনা তাই x = 6 হবেনা।

(ii)

[tex]\begin{array}{l}
{}^n{P_r}\\
= \frac{{n!}}{{\left( {n - r} \right)!}}\\
= \frac{{n \cdot \left( {n - 1} \right)!}}{{\left( {n - r} \right)!}}\\
= n \cdot \frac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{\left( {n - 1 - r + 1} \right)!}}\\
= n \cdot \frac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{\left[ {\left( {n - 1} \right) - \left( {r - 1} \right)} \right]!}}\\
= n \cdot {}^{n - 1}{P_{r - 1}}
\end{array}[/tex]

আবার

[tex]\begin{array}{l}
{}^n{P_r}\\
= \frac{{n!}}{{\left( {n - r} \right)!}}\\
= \frac{{\left( {n - r + 1} \right) \cdot n!}}{{\left( {n - r + 1} \right) \cdot \left( {n - r} \right)!}}\\
= \left( {n - r + 1} \right) \cdot \frac{{n!}}{{\left[ {n - \left( {r - 1} \right)} \right]\left( {n - r} \right)!}}\\
= \left( {n - r + 1} \right) \cdot \frac{{n!}}{{\left[ {n - \left( {r - 1} \right)} \right]!}}\\
= \left( {n - r + 1} \right) \cdot {}^n{P_{r - 1}}
\end{array}[/tex]

(iii)

[tex]\begin{array}{l}
{}^{n + r + 1}{P_2} = 72\\
\Rightarrow \frac{{\left( {n + r + 1} \right)!}}{{\left( {n + r + 1 - 2} \right)!}} = 72\\
\Rightarrow \frac{{\left( {n + r + 1} \right) \cdot \left( {n + r} \right) \cdot \left( {n + r - 1} \right)!}}{{\left( {n + r - 1} \right)!}} = 72\\
\Rightarrow \left( {n + r + 1} \right) \cdot \left( {n + r} \right) = 72\\
\Rightarrow {\left( {n + r} \right)^2} + n + r = 72
\end{array}[/tex]

মনে করি ( n + r ) = x , তাহলে

[tex]\begin{array}{l}
{x^2} + x = 72\\
\Rightarrow {x^2} + x - 72 = 0\\
\Rightarrow {x^2} + 9x - 8x - 72 = 0\\
\Rightarrow x\left( {x + 9} \right) - 8\left( {x + 9} \right) = 0\\
\Rightarrow \left( {x + 9} \right) \cdot \left( {x - 8} \right) = 0\\
\Rightarrow x = - 9 or 8
\end{array}[/tex]

অতএব n + r = -9 ...........(1) অথবা n + r = 8 ...............(2)

[tex]\begin{array}{l}
{}^{n - r}{P_2} = 12\\
\Rightarrow \frac{{\left( {n - r} \right)!}}{{\left( {n - r - 2} \right)!}} = 12\\
\Rightarrow \frac{{\left( {n - r} \right) \cdot \left( {n - r - 1} \right) \cdot \left( {n - r - 2} \right)!}}{{\left( {n - r - 2} \right)!}} = 12\\
\Rightarrow \left( {n - r} \right) \cdot \left( {n - r - 1} \right) = 12
\end{array}[/tex]

মনে করি ( n - r ) = y , তাহলে

[tex]\begin{array}{l}
y\left( {y - 1} \right) = 12\\
\Rightarrow {y^2} - y - 12 = 0\\
\Rightarrow {y^2} - 4y + 3y - 12 = 0\\
\Rightarrow y\left( {y - 4} \right) + 3\left( {y - 4} \right) = 0\\
\Rightarrow \left( {y - 4} \right)\left( {y + 3} \right) = 0\\
\Rightarrow y = 4
\end{array}[/tex]

কারণ ( n - r ) এর মান সর্বদা ধনাত্মক হয় , সেই জন্য n - r = 4 .............(3)

(1) , (2) এবং (3) সমাধান করে পাই n = 6 এবং r = 2

উদাহরণ 4. যদি [tex]{}^{2n + 1}{P_{n - 1}}:{}^{2n - 1}{P_n} = 3:5[/tex] হয় , তবে n এর মান নির্ণয় করো। [H.S. '00]

সমাধান :

[tex]\begin{array}{l}
{}^{2n + 1}{P_{n - 1}}:{}^{2n - 1}{P_n} = 3:5\\
\Rightarrow \frac{{\left( {2n + 1} \right)!}}{{\left[ {2n + 1 - \left( {n - 1} \right)} \right]!}}:\frac{{\left( {2n - 1} \right)!}}{{\left( {2n - 1 - n} \right)}} = 3:5\\
\Rightarrow \frac{{\left( {2n + 1} \right)!}}{{\left( {n + 2} \right)!}}:\frac{{\left( {2n - 1} \right)!}}{{\left( {n - 1} \right)!}} = 3:5\\
\Rightarrow \frac{{\frac{{\left( {2n + 1} \right)!}}{{\left( {n + 2} \right)!}}}}{{\frac{{\left( {2n - 1} \right)!}}{{\left( {n - 1} \right)!}}}} = \frac{3}{5}\\
\Rightarrow \frac{{\left( {2n + 1} \right)!}}{{\left( {2n - 1} \right)!}} \times \frac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{\left( {n + 2} \right)!}} = \frac{3}{5}\\
\Rightarrow \frac{{\left( {2n + 1} \right) \cdot \left( {2n} \right) \cdot \left( {2n - 1} \right)!}}{{\left( {2n - 1} \right)!}} \times \frac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{\left( {n + 2} \right) \cdot \left( {n + 1} \right) \cdot n \cdot \left( {n - 1} \right)!}} = \frac{3}{5}\\
\Rightarrow \frac{{2n \cdot \left( {2n + 1} \right)}}{{n \cdot \left( {n + 1} \right) \cdot \left( {n + 2} \right)}} = \frac{3}{5}\\
\Rightarrow 20n + 10 = 3\left( {{n^2} + 3n + 2} \right)\\
\Rightarrow 20n + 10 = 3{n^2} + 9n + 6\\
\Rightarrow 3{n^2} - 11n - 4 = 0\\
\Rightarrow 3{n^2} - 12n + n - 4 = 0\\
\Rightarrow 3n\left( {n - 4} \right) + \left( {n - 4} \right) = 0\\
\Rightarrow \left( {3n + 1} \right)\left( {n - 4} \right) = 0\\
\Rightarrow n = 4
\end{array}[/tex]

কারণ [tex]n = - \frac{1}{3}[/tex] অসম্ভব।

উদাহরণ 5. MONDAY শব্দটির সমস্ত অক্ষর নিয়ে কটি শব্দ গঠন করা যায় ? এদের মধ্যে কটি শব্দ M দিয়ে আরম্ভ হবে কিন্তু Y দিয়ে শেষ হবেনা ?

সমাধান : MONDAY শব্দটির মধ্যে 6 টি অক্ষর আছে। সুতরাং 6 টি অক্ষর দিয়ে আমরা 6! অর্থাৎ [tex]6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720[/tex] উপায়ে শব্দ গঠন করতে পারি।

M দিয়ে আরম্ভ যে সমস্ত শব্দ , তার বিন্যাস সংখ্যা হল [tex]5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120[/tex] . আবার M দিয়ে আরম্ভ এবং Y দিয়ে শেষ সেই সমস্ত শব্দের বিন্যাস সংখ্যা হল [tex]4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24[/tex] . অতএব M দিয়ে আরম্ভ কিন্তু Y দিয়ে শেষ নয় সেই সমস্ত শব্দের বিন্যাস সংখ্যা হল ( 120 - 24 ) = 96 .

উদাহরণ 6. কোনো 2 জন বালিকা পাশাপাশি বসে কত বিভিন্ন রকমে 8 জন বালক ও 5 জন বালিকা এক সারিতে আসন গ্রহণ করতে পারে ?

সমাধান : 2 জন বালিকা কখনো পাশাপাশি বসতে পারবেনা অর্থাৎ 2 জন বালকের মাঝে একজন বালিকা বসতে পারে। 8 জন বালকের মাঝে 7 টি স্থান আছে , আর বালকদের দুপাশে 2 টি স্থান আছে। তাহলে বালিকাদের বসার জন্য মোট 9 টি স্থান আছে। 5 জন বালিকা এই 9 টি স্থানে যেকোনো প্রকারে বসতে পারে। 5 জন বালিকা 9 টি স্থানে বসার বিন্যাস সংখ্যা হল

[tex]{}^9{P_5} = \frac{{9!}}{{\left( {9 - 5} \right)!}} = \frac{{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!}}{{4!}} = 15120[/tex]

আবার 8 জন বালক নিজেদের মধ্যে [tex]8![/tex] উপায়ে বসতে পারে। সুতরাং মোট বিন্যাস সংখ্যা হল [tex]8! \times 15120[/tex].

উদাহরণ 7. 0 , 1 , 4 , 5 , 6 এবং 7 অঙ্কগুলি দ্বারা 6 অঙ্কবিশিষ্ট কটি বিজোড় সংখ্যা গঠন করা যায় ? এই নতুন সংখ্যাগুলির কোনো একটিতেও উপরিউক্ত কোনো অঙ্ক একবারের বেশি ব্যবহৃত হতে পারবেনা। [H.S. '95]

সমাধান: 6 অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার ক্ষেত্রে সামনে '0' অঙ্কটি থাকবেনা। আবার বিজোড় সংখ্যা গুলির ক্ষেত্রে শেষের অঙ্ক গুলি সর্বদা হবে বিজোড় অর্থাৎ 1 , 5 এবং 7. সুতরাং যে সংখ্যাগুলি 1 দিয়ে শেষ তার বিন্যাস সংখ্যা হল 5! = 120 . এই ভাবে বাকি দুটি সংখ্যা 5 এবং 7 ক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা হবে 120 . অতএব বিজোড় সংখ্যা গঠনে মোট বিন্যাস সংখ্যা হবে [tex]3 \times 120 = 360[/tex] . কিন্তু এই বিন্যাসের মধ্যে 0 দিয়ে শুরু অঙ্ক গুলি বর্তমান আছে। 0 দিয়ে শুরু এবং 1 দিয়ে শেষ এই রকম বিন্যাস সংখ্যা হল 4! = 24 . এইভাবে বাকি দুটি সংখ্যা 5 এবং 7 দিয়ে শেষ এবং 0দিয়ে শুরুর ক্ষেত্রে বিন্যাস হবে 4! = 120 . এইরকম ক্ষেত্রে মোট বিন্যাস সংখ্যা হল [tex]3 \times 24 = 72[/tex]. অতএব উপরিউক্ত অঙ্কগুলি দ্বারা 6 অঙ্কবিশিষ্ট বিজোড় সংখ্যার বিন্যাস হল ( 360 - 72 ) = 288 .

উদাহরণ 8. 1 , 2 , 3 , 4 , 5 সংখ্যাগুলির কোনোটিকেই একই সংখ্যায় একাধিকবার ব্যবহার না করে 300 র চেয়ে বড়ো কতগুলি জোড় সংখ্যা হয় তা নির্ণয় করো।

সমাধান: স্পষ্টতই , প্রদত্ত অঙ্কগুলি দিয়ে 300 এর চেয়ে বড়ো সংখ্যা তিন , চার এবং পাঁচ অঙ্কবিশিষ্ট হতে পারে।

তিন অঙ্কের ক্ষেত্রে :- তিন অঙ্কের জোড় সংখ্যার শেষের অঙ্কটি হবে 2 অথবা 4. সুতরাং প্রথম অক্ষর 3 এবং শেষের অক্ষর 2 , এই রকম তিন অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যায় [tex]{}^3{P_1} = 3[/tex] উপায়ে। একই ভাবে তিন অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যার যার প্রথম অঙ্ক 3 এবং শেষের অঙ্ক 4 তার বিন্যাস সংখ্যা হল [tex]{}^3{P_1} = 3[/tex]. যে সমস্ত সংখ্যা 5 দিয়ে শুরু তার ক্ষেত্রেও এই উপায়ে জোড় সংখ্যা নির্ণয় করা যায়। কিন্তু যে সমস্ত সংখ্যা গুলি 4 দিয়ে শুরু তার ক্ষেত্রে শেষ সংখ্যাটি সবসময় হবে 2 . এই রকম সংখ্যার বিন্যাস সংখ্যা হবে [tex]{}^3{P_1} = 3[/tex] . অতএব 300 এর থেকে বড়ো তিন অঙ্কবিশিষ্ট জোড় সংখ্যার মোট সংখ্যা হল ( 3 + 3 + 3 + 3 +3 ) =15 .

চার অঙ্কের ক্ষেত্রে :- চার অঙ্কের যে সমস্ত জোড় সংখ্যার প্রথম সংখ্যা 1 এবং শেষ সংখ্যা 2 , তার বিন্যাস সংখ্যা হবে [tex]{}^3{P_2} = \frac{{3!}}{{\left( {3 - 2} \right)!}} = 6[/tex] . আবার চার অঙ্কের যে সমস্ত জোড় সংখ্যার প্রথম সংখ্যা 1 এবং শেষ সংখ্যা 4 , তার বিন্যাস সংখ্যা হবে = 6 . চার অঙ্কের যে সমস্ত জোড় সংখ্যার প্রথম সংখ্যা 3 ও 5 এবং শেষ সংখ্যা 2 তাদের সবার ক্ষেত্রে একই রকম বিন্যাস সংখ্যা পাওয়া যাবে। চার অঙ্কের যে সমস্ত জোড় সংখ্যার প্রথম সংখ্যা 2 এবং শেষ সংখ্যা 4 তার বিন্যাস সংখ্যা হল [tex]{}^3{P_2} = \frac{{3!}}{{\left( {3 - 2} \right)!}} = 6[/tex] . আবার চার অঙ্কের যে সমস্ত জোড় সংখ্যার প্রথম সংখ্যা 4 এবং শেষ সংখ্যা 2 তার বিন্যাস সংখ্যা হল = 6 . অতএব চার অঙ্কবিশিষ্ট জোড় সংখ্যার মোট সংখ্যা হল [tex] = 3 \times \left( {6 + 6} \right) + 2 \times 6 = 48[/tex].

পাঁচ অঙ্কের ক্ষেত্রে :- পাঁচ অঙ্কের যে সমস্ত জোড় সংখ্যার প্রথম সংখ্যা 1 এবং শেষ সংখ্যা 2 , তার বিন্যাস সংখ্যা হবে 3! = 6 . আবার পাঁচ অঙ্কের যে সমস্ত জোড় সংখ্যার প্রথম সংখ্যা 1 এবং শেষ সংখ্যা 4 , তার বিন্যাস সংখ্যা হবে = 6 . পাঁচ অঙ্কের যে সমস্ত জোড় সংখ্যার প্রথম সংখ্যা 3 ও 5 এবং শেষ সংখ্যা 2 তাদের সবার ক্ষেত্রে একই রকম বিন্যাস সংখ্যা পাওয়া যাবে। পাঁচ অঙ্কের যে সমস্ত জোড় সংখ্যার প্রথম সংখ্যা 2 এবং শেষ সংখ্যা 4 তার বিন্যাস সংখ্যা হল [tex]{}^3{P_2} = \frac{{3!}}{{\left( {3 - 2} \right)!}} = 6[/tex] . আবার পাঁচ অঙ্কের যে সমস্ত জোড় সংখ্যার প্রথম সংখ্যা 4 এবং শেষ সংখ্যা 2 তার বিন্যাস সংখ্যা হল = 6 . অতএব পাঁচ অঙ্কবিশিষ্ট জোড় সংখ্যার মোট সংখ্যা হল [tex] = 3 \times \left( {6 + 6} \right) + 2 \times 6 = 48[/tex] .

অতএব মোট বিন্যাস সংখ্যা হবে ( 15 + 48 + 48 ) = 111 টি।

উদাহরণ 9. ASSASSINATION শব্দটির অক্ষরগুলিকে

(i) কত বিভিন্ন রকমের বিন্যাস করা যায় ?

(ii) কতগুলি বিন্যাসে চারটি S একত্রে থাকবে না ?

(iii) কতগুলি বিন্যাসে স্বরবর্ণ গুলি সর্বদা একত্রে থাকবে ?

সমাধান : (i) ASSASSINATION শব্দের মধ্যে অক্ষর ও তাদের সংখ্যা নিচে দেওয়া হল :

অক্ষর A S I N T O মোট

সংখ্যা 3 4 2 2 1 1 13

সুতরাং শব্দগুলির অক্ষর নিয়ে নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা হবে

[tex]\begin{array}{l}
\frac{{(13)!}}{{4! \times 3! \times 2! \times 2! \times 1! \times 1!}}\\
= \frac{{13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!}}{{4! \times 6 \times 2 \times 2}}\\
= 10810800
\end{array}[/tex]

(ii) চারটি S কে একত্রে একটি অক্ষর ধরলে মোট অক্ষর সংখ্যা হয় 10 টি। অতএব সেক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা হবে

[tex]\frac{{\left( {10} \right)!}}{{3! \times 1! \times 2! \times 2! \times 1! \times 1!}} = \frac{{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3!}}{{3! \times 2 \times 2}} = 151200[/tex]

অতএব চারটি S একত্রে থাকবেনা তার বিন্যাস সংখ্যা হল ( 10810800 - 151200 ) = 10659600

(iii) এখানে স্বরবর্ণ গুলি হল A - 3 , I - 2 , O - 1. অতএব মোট 6 টি স্বরবর্ণ আছে। এখন স্বরবর্ণ গুলিকে মোট একটি অক্ষর ধরলে মোট অক্ষর সংখ্যা হয় 8 টি। অতএব মোট বিন্যাস সংখ্যা হবে [tex]\frac{{8!}}{{4! \times 2! \times 1!}} = \frac{{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!}}{{4! \times 2}} = 840[/tex].

আবার স্বরবর্ণ গুলি নিজেদের মধ্যে বিন্যাস করতে পারে। সে ক্ষেত্রে স্বরবর্ণের মোট বিন্যাস হবে [tex]\frac{{6!}}{{3! \times 2! \times 1!}} = \frac{{6 \times 5 \times 4 \times 3!}}{{3! \times 2}} = 60[/tex].

অতএব স্বরবর্ণ গুলি একত্রে থাকলে মোট বিন্যাস সংখ্যা হবে [tex]840 \times 60 = 50400[/tex] .

উদাহরণ 10. চারটি বিভিন্ন রঙের বল এবং বল গুলির রঙের মতো একই রংবিশিষ্ট চারটি বিভিন্ন রঙের বাক্স আছে। কত বিভিন্ন উপায়ে একটি করে বল প্রত্যেক বাক্সে রাখা যায় যাতে কোনো একটি রঙের বল সেই রঙের বাক্সে না থাকে ? [I.I.T '92 ]

সমাধান : মনে করি চারটি বিভিন্ন রঙের বল হল A , B , C এবং D . বলগুলির রঙের মতো চারটি বাক্স হল P , Q , R এবং S . প্রশ্নানুযায়ী বলগুলিকে প্রত্যেক বাক্সে এমন ভাবে রাখতে হবে যাতে একই রঙের বল সেই বাক্সে না থাকে। আমরা যেকোনো একটি বাক্স P নিয়ে নিচে দেখলাম

P Q R S

B A D C

B C D A

B D A C

দেখা যাচ্ছে 3 উপায়ে P বাক্সে B বল রেখে বাকি বাক্স গুলিতে বিভিন্ন রঙের বল রাখা যায়। বাকি 3টি বাক্সের ক্ষেত্রে একই রকম বিন্যাস দেখা যায়। সুতরাং মোট বিন্যাস সংখ্যা হল [tex]3 \times 3 = 9[/tex]

বৃত্তাকার বিন্যাস ( Circular Permutation )

আর বস্তুসমূহকে যদি একটি বৃত্তাকার বরাবর সাজানো যায় তাকে বৃত্তাকার বিন্যাস ( Circular Permutation ) বলে। এই দুই বিন্যাসের মধ্যে মূলগত কোনো পার্থক্য নেই। প্রথম ক্ষেত্রে বিন্যাস বস্তু সমূহের স্বতন্ত্র অবস্থান এর ওপর নির্ভর করে , কিন্তু দ্বিতীয় ক্ষেত্রে বিন্যাস বস্তু সমূহের আপেক্ষিক অবস্থানের ওপর নির্ভরশীল।সুতরাং রৈখিক বিন্যাসে যেখানে n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুকে n! উপায়ে বিন্যস্ত করা যায় সেখানে বৃত্তাকার বিন্যাসে একটি বস্তুর অবস্থানকে স্থির রেখে অবশিষ্ট ( n - 1) সংখ্যক বস্তুকে ( n - 1)! উপায়ে বিন্যস্ত করা যায়। আবার এই ( n - 1)! রকম বিন্যাসে , ঘড়ির কাঁটা যে দিকে ঘরে সেদিকের ও তার বিপরীত দিকের বিন্যাস আলাদা ধরা হয়েছে। কিন্তু যে প্রশ্নে দুরকম বিন্যাস একই রকম ধরা হয় সেক্ষেত্রে বৃত্তাকার বিন্যাসের সংখ্যা হবে [tex] = \frac{1}{2}\left( {n - 1} \right)![/tex] .

উদাহরণ 11. কত রকমে 6 জন বালককে বৃত্তাকারে বিন্যস্ত করা যায় ?

সমাধান : মনে করি A , B , C , D , E এবং F যেন 6 জন বালক। যেহেতু বৃত্তাকার বিন্যাসে আপেক্ষিক বিন্যাস বিবেচ্য , তাই ধরে নিই A বালক তার অবস্থানে স্থির আছে। অতএব বাকি 5 জন বালককে কতরকম বিভিন্ন উপায়ে বিন্যস্ত করা যাবে , সেটাই আমাদে।র বের করতে হবে। 5 জন বালককে 5! = 120 উপায়ে বিন্যস্ত করা যায়। সুতরাং 6 জন বালককে বৃত্তাকারে 120 উপায়ে বিন্যস্ত করা যাবে।

উদাহরণ 12. 5 টি বিভিন্ন বর্ণের মুক্তোর সাহায্যে কত বিভিন্ন উপায়ে মালা গাঁথা যায় ?

সমাধান : 5 টি বিভিন্ন বর্ণের মুক্তকে দিয়ে 4! = 24 রকম উপায়ে বৃত্তাকারে বিন্যস্ত করা যায়। এই 24 রকম বিন্যাসে ঘড়ির কাঁটা যেদিকে ঘরে সেদিকে ও তার বিপরীত দিকের বিন্যাস ভিন্ন ধরা হয়েছে। কিন্তু বিভিন্ন বর্ণের মুক্তোর মালা ঘুরিয়ে ধরলে ঘড়ির কাঁটার দিক ও তার বিপরীত দিক অভিন্ন হয়। সুতরাং এক্ষেত্রে নির্ণেয় বিন্যাস হবে [tex]\frac{1}{2} \times 24 = 12[/tex] .

সমবায় (Combination)

কতগুলি প্রদত্ত বস্তু থেকে কয়েকটি বা সবগুলি একসঙ্গে নিয়ে যতগুলি বিভিন্ন দল বা নির্বাচন (Group or Selection) গঠন করা হয়, তাদের প্রত্যেকটিকে এক একটি সমবায় (Combination) বলে ।

সমবায় সংক্রান্ত সূত্রাবলি ( Different Formula on Combination )

n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে একযোগে r সংখ্যক বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমবায় সংখ্যাকে [tex]{}^n{C_r}[/tex] অথবা [tex]{}_n{C_r}[/tex] দ্বারা সূচিত করা হয়।

(A) n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে একযোগে r সংখ্যক বস্তু নিয়ে সমবায় সংখ্যা নির্ণয় ( [tex]r \le n[/tex] ) [ To the number of combination of n different things taken r at a time ( [tex]r \le n[/tex] ) ]

(i) প্রথম পদ্ধতি ( বিন্যাস সুত্রের সাহায্যে )

মনে করি নির্ণেয় সমবায় সংখ্যা x . এখন x সংখ্যক সমবায়ের প্রত্যেকটিতে r সংখ্যক বস্তু আছে। এই r সংখ্যক বস্তু নিজেদের মধ্যে r! ভাবে বিন্যস্ত হতে পারে। অতএব x সমবায়ের জন্য মোট বিন্যাস সংখ্যা হবে [tex]x \times r![/tex] . আবার n সংখ্যক বস্তু থেকে একযোগে r সংখ্যক বস্তু নিলে নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা হবে [tex]{}^n{P_r}[/tex] .

প্রশ্নানুযায়ী

[tex]\begin{array}{l}
x \times r! = {}^n{P_r}\\
\Rightarrow x = \frac{{n!}}{{r! \times \left( {n - r} \right)!}}\\
\Rightarrow {}^n{C_r} = \frac{{n!}}{{r! \times \left( {n - r} \right)!}}
\end{array}[/tex]

(ii) দ্বিতীয় পদ্ধতি ( বিন্যাস সূত্রের সাহায্য ব্যতীত )

মনে করি n সংখ্যক সমবায় যেন n সংখ্যক অক্ষর এবং নির্ণেয় সমবায় সংখ্যা হল [tex]{}^n{C_r}[/tex] .

এখন প্রত্যেকটি সমবায়ে r সংখ্যক অক্ষর আছে। অতএব সব সমবায়ে মোট অক্ষর সংখ্যা হল [tex]r \times {}^n{C_r}[/tex] . আবার কোনো একটি বিশেষ অক্ষর মোট সমবায়ে মোট কতবার আসে তা জানা যাবে যদি ( n - 1) সংখ্যক অক্ষর থেকে ( r - 1) সংখ্যক সমবায়ের প্রত্যেকটির সঙ্গে উক্ত অক্ষরটি যুক্ত করা হয় . সুতরাং মোট সমবায়ে n সংখ্যক অক্ষরের প্রত্যেকটি অক্ষর [tex]{}^{n - 1}{C_{r - 1}}[/tex] বার করে আছে। অতএব [tex]{}^n{C_r}[/tex] সংখ্যক সমবায়ে মোট অক্ষর সংখ্যা [tex]n \times {}^{n - 1}{C_{r - 1}}[/tex] হবে।

[tex]r \times {}^n{C_r} = n \times {}^{n - 1}{C_{r - 1}} \Rightarrow {}^n{C_r} = \frac{n}{r} \times {}^{n - 1}{C_{r - 1}}[/tex]

অনুরূপে

[tex]\begin{array}{l}
{}^{n - 1}{C_{r - 1}} = \frac{{n - 1}}{{r - 1}} \times {}^{n - 2}{C_{r - 2}};{}^{n - 2}{C_{r - 2}} = \frac{{n - 2}}{{r - 2}} \times {}^{n - 3}{C_{r - 3}}\\
.........................................................................\\
.........................................................................\\
{}^{n - r + 2}{C_{r - r + 2}} = \frac{{n - r + 2}}{{r - r + 2}} \times {}^{n - r + 1}{C_{r - r + 1}} \Rightarrow {}^{n - r + 2}{C_2} = \frac{{n - r + 2}}{2} \times {}^{n - r + 1}{C_1}\\
{}^{n - r + 1}{C_1} = \frac{{n - r + 1}}{1} \times {}^{n - r}{C_0} = n - r + 1
\end{array}[/tex]

ওপরের বামপক্ষের ও ডানপক্ষের রাশিগুলি গুণ করে পাই

[tex]\begin{array}{l}
{}^n{C_r} = \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)........\left( {n - r + 1} \right)}}{{r\left( {r - 1} \right)\left( {r - 2} \right)......2 \cdot 1}}\\
= \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right).........\left( {n - r + 1} \right)\left( {n - r} \right)\left( {n - r - 1} \right).......3 \cdot 2 \cdot 1}}{{r!\left( {n - r} \right)\left( {n - r - 1} \right).......3 \cdot 2 \cdot 1}}\\
= \frac{{n!}}{{r!\left( {n - r} \right)!}}
\end{array}[/tex]

দ্রষ্টব্য:

(১) [tex]{}^n{C_n} = \frac{{n!}}{{n! \times \left( {n - n} \right)!}} = \frac{{n!}}{{n! \times 0!}} = 1[/tex].

(২) [tex]{}^n{C_0} = \frac{{n!}}{{0! \times \left( {n - 0} \right)!}} = \frac{{n!}}{{0! \times n!}} = 1[/tex].

(৩) [tex]{}^n{C_1} = \frac{{n!}}{{1! \times \left( {n - 1} \right)!}} = \frac{{n \times \left( {n - 1} \right)!}}{{1 \times \left( {n - 1} \right)!}} = n[/tex].

(৪) [tex]{}^n{P_r} = r! \times {}^n{C_r}[/tex].

(৫) n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে একযোগে r সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু নিয়ে মোট যতগুলি সমবায় করা যায় যাতে একটি বিশেষ বস্তু সর্বদাই থাকবে তার সংখ্যা হল [tex]{}^{n - 1}{C_{r - 1}}[/tex] .

(B) পূরক সমবায় ( Complementary combination ):

n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে একযোগে r সংখ্যক বস্তু নিয়ে সমবায় সংখ্যা এবং n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে একযোগে ( n - r ) সংখ্যক বস্তুর সমবায় সংখ্যা পরস্পর সমান। [ Number of combinations of n different things taking r at a time is equal to the number of combinations of n different things taking ( n - r ) at a time ]

(i) প্রথম পদ্ধতি (সুত্রের সাহায্যে )

আমরা জানি [tex]{}^n{C_r} = \frac{{n!}}{{r! \times \left( {n - r} \right)!}}[/tex] .

[tex]{}^n{C_{n - r}} = \frac{{n!}}{{\left( {n - r} \right)! \times \left( {n - n + r} \right)!}} = \frac{{n!}}{{\left( {n - r} \right)! \times r!}} = {}^n{C_r}[/tex]

(ii) দ্বিতীয় পদ্ধতি (সূত্রের সাহায্য ব্যতীত )

n সংখ্যক কোনো বস্তু থেকে r সংখ্যক কোনো বস্তু কে নির্বাচন করা হলে ( n - r ) সংখ্যক বস্তুকে পৃথক করা যায়। সুতরাং যতবার n সংখ্যক কোনো বস্তু থেকে r সংখ্যক কোনো বস্তুকে নিবাচন করা হয় ততবার ( n - r ) সংখ্যক বস্তুকে নিবাচন করা হয়। অতএব n সংখ্যক কোনো বস্তু থেকে r সংখ্যক বস্তুর নির্বাচন সংখ্যা , n সংখ্যক কোনো বস্তু থেকে ( n - r ) সংখ্যক বস্তুর নির্বাচন সংখ্যা সমান হয়। সুতরাং [tex]{}^n{C_r} = {}^n{C_{n - r}}[/tex] .

দ্রষ্টব্য :

যদি [tex]{}^n{C_p} = {}^n{C_q} \Rightarrow p = q[/tex] অথবা p + q = n

উদাহরণ 1. দেখাও যে [tex]{}^n{C_r} + {}^n{C_{r - 1}} = {}^{n + 1}{C_r}[/tex]

সমাধান :

[tex]\begin{array}{l}
{}^n{C_r} + {}^n{C_{r - 1}}\\
= \frac{{n!}}{{r! \times \left( {n - r} \right)!}} + \frac{{n!}}{{\left( {r - 1} \right)! \times \left( {n - r + 1} \right)!}}\\
= \frac{{n! \times \left( {n - r + 1} \right)}}{{r! \times \left( {n - r + 1} \right) \times \left( {n - r} \right)!}} + \frac{{n! \times r}}{{r \times \left( {r - 1!} \right) \times \left( {n - r + 1} \right)!}}\\
= \frac{{n! \times (n - r + 1)}}{{r! \times \left( {n - r + 1} \right)!}} + \frac{{n! \times r}}{{r! \times \left( {n - r + 1} \right)!}}\\
= \frac{{n!}}{{r! \times \left( {n + 1 - r} \right)!}}\left\{ {n - r + 1 + r} \right\}\\
= \frac{{n! \times \left( {n + 1} \right)}}{{r! \times \left( {n + 1 - r} \right)!}}\\
= \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{r! \times \left( {n + 1 - r} \right)!}} = {}^{n + 1}{C_r}
\end{array}[/tex]

উদাহরণ 2. প্রমাণ করো যে , [tex]\frac{{{}^n{C_r}}}{{{}^n{C_{r - 1}}}} = \frac{{n - r + 1}}{r}[/tex]

সমাধান :

[tex]\begin{array}{l}
\frac{{{}^n{C_r}}}{{{}^n{C_{r - 1}}}}\\
= \frac{{\frac{{n!}}{{r! \times \left( {n - r} \right)!}}}}{{\frac{{n!}}{{\left( {r - 1} \right)! \times \left( {n - r + 1} \right)!}}}}\\
= \frac{{\left( {r - 1} \right)! \times \left( {n - r + 1} \right)!}}{{r! \times \left( {n - r} \right)!}}\\
= \frac{{\left( {r - 1} \right)! \times \left( {n - r + 1} \right) \times \left( {n - r} \right)!}}{{r \times \left( {r - 1} \right)! \times \left( {n - r} \right)!}}\\
= \frac{{n - r + 1}}{r}
\end{array}[/tex]

(C) শর্তারোপিত সমবায় ( Restricted combinations )

(i) n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে একযোগে r সংখ্যক বস্তুর সমবায় সংখ্যা হয় [tex]{}^{n - p}{C_{r - p}}[/tex] যাতে নির্বাচিত r সংখ্যক বস্তুর মধ্যে p সংখ্যক নির্দিষ্ট বস্তু সর্বদা থাকে।

(ii) n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে একযোগে r সংখ্যক বস্তুর সমবায় সংখ্যা হয় [tex]{}^{n - p}{C_r}[/tex] যাতে নির্বাচিত r সংখ্যক বস্তুর মধ্যে p সংখ্যক নির্দিষ্ট বস্তু কখনোই থাকবে না।

(D) n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে একযোগে যতগুলি ইচ্ছা বস্তু নিয়ে সমবায় সংখ্যা নির্ণয় ( To find the total number of combinations of n different things taken any number at a time )

নির্ণেয় সমবায় সংখ্যা দুটি আকারে প্রকাশ করা যায়

(i) প্রথম আকার

স্পষ্টতই , নির্ণেয় সমবায় সংখ্যা = n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে একযোগে এক , দুই , তিন এইভাবে n সংখ্যক বস্তুগুলি সব নিয়ে প্রাপ্ত সমবায় সংখ্যার সমষ্টি = [tex]{}^n{C_1} + {}^n{C_2} + {}^n{C_3} + ............. + {}^n{C_n}[/tex]

(ii) দ্বিতীয় আকার

স্পষ্টতই যেকোনো বস্তুর ক্ষেত্রে দুটি সম্ভাবনা থাকে হয় বস্তুটি নির্বাচিত হবে না হলে হবে না। সুতরাং n সংখ্যক প্রত্যেকটি বস্তুর ক্ষেত্রে এই দুরকম সম্ভাবনা থাকে। অতএব মোট সমবায় সংখ্যা [tex]2 \times 2 \times 2 \times ...........[/tex] এই ভাবে n পর্যন্ত চলতে থাকবে = [tex]{2^n}[/tex] . এই প্রক্রিয়ার মধ্যে এমন সময় আছে যাতে কোনো বস্তু নির্বাচিত হয়না।

সুতরাং নির্ণেয় সমবায় সংখ্যা = [tex]{2^n} - 1[/tex] .

উপরের দুটি আকার থেকে আমরা এই সিদ্ধান্তে আসতে পারি যে

[tex]{2^n} - 1 = {}^n{C_1} + {}^n{C_2} + {}^n{C_3} + ............ + {}^n{C_n}[/tex]

(E) সব বস্তু বিভিন্ন না হলেও এদের মধ্যে সমবায় সংখ্যা নির্ণয় ( To the total number of combinations when all the things are not different )

মনে করি n সংখ্যক কিছু বস্তু আছে , তার মধ্যে p সংখ্যক বস্তু প্রথম রকম , q সংখ্যক বস্তু দ্বিতীয় রকম , r সংখ্যক বস্তু তৃতীয় রকম , এইভাবে বিভিন্ন রকমের বস্তু গুলি আছে। স্পষ্টতই p সংখ্যক প্রথম রকমের বস্তু 1টি , 2টি , 3টি ......p টি অথবা একটিও না এইভাবে নির্বাচিত হতে পারে। সুতরাং এক্ষেত্রে মোট নির্বাচন সংখ্যা হবে ( p + 1) । অনরূপে q , r .......বস্তুগুলির ক্ষেত্রে মোট নির্বাচন সংখ্যা হবে যথাক্রমে ( q +1) , ( r + 1) ...... . এখন প্রথম রকমের প্রত্যেকটি বস্তু নির্বাচনের ক্ষেত্রে দ্বিতীয় রকমের বস্তু ( q +1) রকম ভাবে নির্বাচন করা যায়। সুতরাং প্রথম ও দ্বিতীয় রকম বস্তু মোট ( p + 1)( q + 1) উপায়ে নির্বাচন করা যায়।

একইরকম প্রথম , দ্বিতীয় ও তৃতীয় রকম বস্তু মোট ( p + 1)( q + 1)( r + 1) উপায়ে নির্বাচন করা যায়।

সুতরাং মোট নির্বাচন সংখ্যা হবে ( p + 1)( q + 1)( r + 1).............

কিন্তু এই নির্বাচন সংখ্যায় এমন একটি নির্বাচন আছে যাতে কোনো বস্তুই নির্বাচিত হয় না সুতরাং মোট সমবায় সংখ্যা হল

{( p + 1)( q + 1)( r + 1).............} - 1

(F) বিভিন্ন দলে বিভাগ ( Division into groups )

(i) কত বিভিন্ন উপায়ে ( m + n ) সংখ্যক বস্তুকে দুটি দলে বিভক্ত করা যায় , যাতে একটি দলে m সংখ্যক ও অন্য দলে n সংখ্যক বস্তু থাকে ?

( m + n ) সংখ্যক বস্তু থেকে m সংখ্যক বস্তু নির্বাচন করা যায় [tex]{}^{m + n}{C_m}[/tex] উপায়ে। m সংখ্যক বস্তু নির্বাচিত হওয়ার পর n সংখ্যক বস্তু অবশিষ্ট থাকে। এই n সংখ্যক বস্তু থেকে n সংখ্যক বস্তু নির্বাচন করা যায় [tex]{}^n{C_n}[/tex] অর্থাৎ 1 উপায়ে। সুতরাং নির্ণেয় নির্বাচন সংখ্যা = [tex]^{m + n}{C_m} \times 1 = \frac{{\left( {m + n} \right)!}}{{m! \times n!}}[/tex]

(ii) কত বিভিন্ন উপায়ে ( m + n + p ) সংখ্যক বস্তুকে তিনটি দলে বিভক্ত করা যায় , যাতে দলগুলিতে যথাক্রমে m , n ও p সংখ্যক বস্তু থাকে ?

( m + n + p ) সংখ্যক বস্তু থেকে m সংখ্যক বস্তু নির্বাচন করা যায় [tex]^{m + n + p}{C_m}[/tex] উপায়ে। m সংখ্যক বস্তু নির্বাচিত হওয়ার পর ( n + p ) সংখ্যক বস্তু অবশিষ্ট থাকে। এই ( n + p ) সংখ্যক বস্তু থেকে n সংখ্যক বস্তু নির্বাচন করা যায় [tex]^{n + p}{C_n}[/tex] . এই p সংখ্যক বস্তু থেকে p সংখ্যক বস্তু নির্বাচন করা যায় [tex]{}^p{C_p}[/tex] অর্থাৎ 1 উপায়ে। সুতরাং নির্ণেয় নির্বাচন সংখ্যা

= [tex]{}^{m + n + p}{C_m} \times {}^{n + p}{C_n} \times 1 = \frac{{\left( {m + n + p} \right)!}}{{m! \times \left( {n + p} \right)!}} \times \frac{{\left( {n + p} \right)!}}{{n! \times p!}} = \frac{{\left( {m + n + p} \right)!}}{{m! \times n! \times p!}}[/tex]

সংক্ষিপ্তকরণ ( Summarisation )

1. n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে r সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুর সমবায় সংখ্যা [tex]{}^n{C_r} = \frac{{n!}}{{r! \times \left( {n - r} \right)!}}[/tex]
2. [tex]{}^n{P_r} = r! \times {}^n{C_r}[/tex]
3. [tex]{}^n{C_0} = 1,{}^n{C_1} = n,{}^n{C_n} = 1[/tex]
4. [tex]{}^n{C_r} = {}^n{C_{n - r}}[/tex]
5. যদি [tex]{}^n{C_p} = {}^n{C_q}[/tex] হয় তাহলে p + q = n [tex]\left[ {p \ne q} \right][/tex] অথবা p = q হবে।
6. [tex]{}^n{C_r} + {}^n{C_{r - 1}} = {}^{n + 1}{C_r}[/tex]
7. [tex]\frac{{{}^n{C_r}}}{{{}^n{C_{r - 1}}}} = \frac{{n - r + 1}}{r}[/tex]
8. n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে যতগুলি ইচ্ছা একযোগে বস্তু নিয়ে সমবায় সংখ্যা

[tex]{}^n{C_1} + {}^n{C_2} + {}^n{C_3} + .............. + {}^n{C_n} = {2^n} - 1[/tex]

9. p সংখ্যক প্রথম ধরণের , q সংখ্যক দ্বিতীয় ধরণের , r সংখ্যক তৃতীয় ধরণের ইত্যাদি এইভাবে যতগুলি ইচ্ছা একযোগে নিয়ে সমবায় সংখ্যা

= {( p + 1)( q + 1)( r + 1).............} - 1

উদাহরণ 3. কোনো সমতলে n সংখ্যক বিন্দু আছে , যাদের মধ্যে নির্দিষ্ট m ( < n ) সংখ্যক বিন্দু সমরেখ এবং অন্য কোনো তিনটি বিন্দু একরেখীয় নয়। ওই বিন্দু গুলি যোগ করে কতগুলি

(i) বিভিন্ন সরলরেখা (ii) কতগুলি বিভিন্ন ত্রিভুজ গঠন করা যাবে ? [ Jt.Ent. '83 ]

সমাধান : (i) দুটি বিন্দু দিয়ে একটি সরলরেখা গঠন করা যায়। অতএব n সংখ্যক বিন্দু গুলি দিয়ে [tex]{}^n{C_2} = \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}[/tex] গুলি সরলরেখার পাওয়া যায়। এদের মধ্যে m সংখ্যক বিন্দু সমরেখ। তাই এগুলি দিয়ে একটি মাত্র সরলরেখা পাওয়া যাবে। কিন্তু m সংখ্যক বিন্দু যে কয়টি সরলরেখা পাওয়া যায় [tex]{}^m{C_2} = \frac{{m\left( {m - 1} \right)}}{2}[/tex] তা n সংখ্যক বিন্দু থেকে পাওয়া সরলরেখার অন্তর্গত।

অতএব নির্ণেয় সরলরেখার সংখ্যা হবে [tex]\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} - \frac{{m\left( {m - 1} \right)}}{2} + 1[/tex]

(ii) আমরা জানি ত্রিভুজ গঠন করতে তিনটি বিন্দু লাগে। এই তিনটি বিন্দু কিন্তু সমরেখ হবে না। অতএব n সংখ্যক বিন্দুগুলি দিয়ে নির্ণেয় ত্রিভুজের সংখ্যা = [tex]{}^n{C_3}[/tex] .

দেখা যাচ্ছে m সংখ্যক বিন্দু সমরেখ। সুতরাং m সংখ্যক বিন্দু গুলি দিয়ে কোনো ত্রিভুজ গঠন করা যাবেনা। কিন্তু এই m সংখ্যক বিন্দুগুলি দিয়ে গঠিত ত্রিভুজ n সংখ্যক বিন্দু দিয়ে গঠিত ত্রিভুজের অন্তর্গত। m সংখ্যক বিন্দু দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের সংখ্যা হল = [tex]{}^m{C_3}[/tex] .

অতএব নির্ণেয় ত্রিভুজের সংখ্যা হল [tex]{}^n{C_3} - {}^m{C_3}[/tex] .

উদাহরণ 4. 14 টি বস্তুর মধ্যে 10 টি সদৃশ এবং বাকি 4 টি বিভিন্ন। এই 14 টি বস্তু থেকে 10 টি করে বস্তু কত উপায়ে নির্বাচন করা যায় ? [ Jt.Ent '90]

সমাধান : 10 টি বস্তু নিম্নলিখিত বিভিন্ন উপায়ে নির্বাচন করা যায়।

1. 10 টি বস্তুই সদৃশ হতে পারে।
2. 9 টি বস্তু সদৃশ এবং 1 টি ভিন্ন হতে পারে।
3. 8 টি বস্তু সদৃশ এবং 2 টি ভিন্ন হতে পারে।
4. 7 টি বস্তু সদৃশ এবং 3 টি ভিন্ন হতে পারে।
5. 6 টি বস্তু সদৃশ এবং 4 টি ভিন্ন হতে পারে।

স্পষ্টতই , 10 টি সদৃশ বস্তু থেকে যেকোনো সংখ্যক সদৃশ বস্তু এক রকমে নির্বাচন করা যায়। সুতরাং দ্বিতীয় , তৃতীয় , চতুর্থ ও পঞ্চম ক্ষেত্রে নির্বাচন সংখ্যা যথাক্রমে [tex]{}^4{C_1},{}^4{C_2},{}^4{C_3},{}^4{C_4}[/tex] .

অতএব নির্ণেয় মোট নির্বাচন সংখ্যা

[tex]\begin{array}{l}
1 + {}^4{C_1} + {}^4{C_2} + {}^4{C_3} + {}^4{C_4}\\
= 1 + \frac{{4!}}{{1! \times 3!}} + \frac{{4!}}{{2! \times 2!}} + \frac{{4!}}{{3! \times 1!}} + \frac{{4!}}{{4! \times 0!}}\\
= 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16
\end{array}[/tex]

উদাহরণ 5. 10 জন পন্ডিত ব্যক্তির একটি দলে 3 জন গণিতবিদ , 3 জন পদার্থবিদ এবং অবশিষ্ট ব্যক্তিরা গণিত এবং পদার্থ উভয় বিষয়ে পারদর্শী। দুটি সারির প্রত্যেকটিতে পাঁচটি করে চেয়ার আছে। সব গণিতবিদ একটি সারিতে , সমস্ত পদার্থবিদ অন্য সারিতে এবং অন্যান্য পন্ডিতেরা দুই সারির ফাঁকা জায়গায় আসন গ্রহণ করেন। কত উপায়ে পন্ডিত ব্যক্তিরা আসন গ্রহণ করতে পারে ?

সমাধান : 3 জন গণিতবিদ অথবা 3 জন পদার্থবিদ দুটি সারির মধ্যে থেকে একটি সারিতে বসতে পারে [tex]{}^2{C_1}[/tex] উপায়ে। এখন 3 জন গণিতবিদ অথবা 3 জন পদার্থবিদ আসন গ্রহণ করার পর প্রত্যেক সারিতে যে দুটি করে চেয়ার ফাঁকা থাকে তাতে বাকি 4 জন পন্ডিত বসতে পারে [tex]{}^4{C_2}[/tex] উপায়ে। আবার প্রত্যেক সারির 5 জন পন্ডিত নিজেদের মধ্যে 5! ভাবে বসতে পারে। অতএব দুটি সারির ক্ষেত্রে [tex]5! \times 5![/tex] ভাবে বসতে পারে। সুতরাং মোট নির্বাচন সংখ্যা হবে

[tex]\begin{array}{l}
{}^2{C_1} \times {}^4{C_2} \times 5! \times 5!\\
= 2 \times 6 \times 120 \times 120 = 172800
\end{array}[/tex]