ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য ( Transversal and Mid-Point Theorem )
উপপাদ্য 1: কোনো ত্রিভুজের দুটি বাহুর মধ্যবিন্দুদ্বয়ের সংযোগ সরলরেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক।
মনে করি ABC ত্রিভুজের AB বাহুর মধ্যবিন্দু হল D এবং AC বাহুর মধ্যবিন্দু হল E . DE যুক্ত করলাম।
প্রমাণ করতে হবে (i) DE ।। BC এবং (ii) [tex]DE = \frac{1}{2}BC[/tex]
অঙ্কন : ED কে F বিন্দু পর্যন্ত এমন ভাবে বর্ধিত করা হল যাতে DE = EF হয়। B , F যুক্ত করলাম।
প্রমাণ : ত্রিভুজ ADE এবং ত্রিভুজ EFC এর
DE = EF ( অঙ্কনানুযায়ী )
AE = EC ( শর্তানুযায়ী )
[tex]\angle AED = \angle CEF[/tex] ( বিপ্রতীপ কোণ )
অতএব ত্রিভুজ ADE [tex] \cong [/tex] ত্রিভুজ CEF .
অতএব AD = CF ( সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ).
আবার AD = BD .
সুতরাং CF = BD .
[tex]\angle DAE = \angle ECF[/tex] ( কিন্তু এরা একান্তর কোণ )
অতএব AD ।। CF অর্থাৎ BD ।। CF
অতএব BDFC চতুর্ভুজের BD ।। CF এবং CF = BD .
অতএব চতুর্ভুজ BDFC হল একটি সামান্তরিক।
অতএব DF ।। BC অর্থাৎ DE ।। BC ( প্রমাণিত )
আবার BDFC সামান্তরিকের DF = BC
E হল DF এর মধ্যবিন্দু।
অতএব [tex]2DE = BC \Rightarrow DE = \frac{1}{2}BC[/tex] ( প্রমাণিত ) .
ABC সমবাহু ত্রিভুজের AB , BC ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু হল যথাক্রমে P , Q ও R . প্রমাণ করতে হবে PQR একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
প্রমাণ : ত্রিভুজ ABC এর AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও R .
অতএব [tex]PR = \frac{1}{2}BC[/tex] ........(i)
একই ভাবে [tex]PQ = \frac{1}{2}AC[/tex].......(ii)
এবং [tex]QR = \frac{1}{2}AB[/tex].........(iii)
যেহেতু ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ
অতএব [tex]AB = BC = AC \Rightarrow \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}AC[/tex]
অতএব (iii) , (i) ও (ii) থেকে পাই
[tex]QR = PR = PQ[/tex]
অতএব PQR একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
ABCD ট্রাপিজিয়ামের দুটি তির্যক বাহু AD ও BC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E ও F . প্রমাণ করতে হবে EF ।। AB এবং [tex]EF = \frac{1}{2}\left( {AB + DC} \right)[/tex]
ABCD ট্রাপিজিয়ামের দুটি তির্যক বাহু AD ও BC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E ও F .
প্রমাণ করতে হবে EF ।। AB এবং [tex]EF = \frac{1}{2}\left( {AB + DC} \right)[/tex]
অঙ্কন : D , F যুক্ত করে এমন ভাবে বর্ধিত করলাম যা বর্ধিত AB বাহুকে G বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ : ত্রিভুজ DCF ও ত্রিভুজ BFG এর মধ্যে
CF = BF ( F হল BC বাহুর মধ্যবিন্দু )
[tex]\angle DFC = \angle BFG[/tex] ( বিপ্রতীপ কোণ )
[tex]\angle DCF = \angle GBF[/tex] ( একান্তর কোণ )
অতএব ত্রিভুজ DCF [tex] \cong [/tex] ত্রিভুজ BFG
সুতরাং DF = FG ( সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ) অর্থাৎ F হল DG এর মধ্যবিন্দু।
এখন ত্রিভুজ DGA এর E ও F হল যথাক্রমে AD ও DG এর মধ্যবিন্দু।
অতএব EF ।। AG এবং [tex]EF = \frac{1}{2}AG[/tex]
এখন EF ।। AG অর্থাৎ EF ।। AB ( প্রমাণিত )
আবার
[tex]\begin{array}{l}
EF = \frac{1}{2}AG\\
\Rightarrow EF = \frac{1}{2}\left( {AB + BG} \right)\\
\Rightarrow EF = \frac{1}{2}\left( {AB + DC} \right)
\end{array}[/tex]
( যেহেতু DF = FG ) প্রমাণিত।
প্রমাণ করতে হবে যে কোনো চতুর্ভুজের বাহুগুলির মধ্যবিন্দু পরপর যুক্ত করলে একটি সামান্তরিক পাওয়া যাবে।
মনে করি ABCD একটি চতুর্ভুজ যার AB , BC , CD ও DA বাহুর মধ্যবিন্দু হল যথাক্রমে E , F , G ও H তাদের মধ্যবিন্দু। প্রমাণ করতে হবে EFGH হল একটি সামান্তরিক।
অঙ্কন : BD যুক্ত করা হল
প্রমাণ : ABD ত্রিভুজের AD ও AB এর মধ্যবিন্দু হল যথাক্রমে H ও E .
সুতরাং HE ।। BD এবং [tex]HE = \frac{1}{2}BD[/tex]..............(i)
আবার BCD ত্রিভুজের BC ও CD বাহুর মধ্যবিন্দু হল যথাক্রমে F ও G .
সুতরাং FG ।। BD এবং [tex]FG = \frac{1}{2}BD[/tex]..................(ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই
HE ।। FG এবং [tex]HE = \frac{1}{2}BD = FG \Rightarrow HE = FG[/tex]
HEFG একটি সামান্তরিক। ( প্রমাণিত )
উপপাদ্য 2: কোনো ত্রিভুজের যে কোনো একটি বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে অঙ্কিত দ্বিতীয় একটি বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা তৃতীয় বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করবে এবং ত্রিভুজের বাহুগুলির দ্বারা সমান্তরাল সরলরেখার খন্ডিতাংশ দ্বিতীয় বাহুর অর্ধেক হবে।
মনে করি ত্রিভুজ ABC এর AC বাহুর মধ্যবিন্দু E দিয়ে BC এর সমান্তরাল সরলরেখা টানা হল যা AB বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ করতে হবে (i) AD = BD এবং (ii) [tex]DE = \frac{1}{2}BC[/tex]
অঙ্কন : ED কে F বিন্দু পর্যন্ত এমন ভাবে বর্ধিত করা হল যাতে DE = EF হয়। B , F যুক্ত করলাম।
প্রমাণ : ত্রিভুজ ADE এবং ত্রিভুজ EFC এর
AE = EC ( কল্পনানুসারে )
DE = EF ( অঙ্কনানুযায়ী )
[tex]\angle AED = \angle CEF[/tex] ( বিপ্রতীপ কোণ )
সুতরাং ত্রিভুজ ADE [tex] \cong [/tex] ত্রিভুজ EFC
অতএব AD = FC ( সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু )
এবং [tex]\angle DAE = \angle FCE[/tex] ( কিন্তু এরা একান্তর কোণ )
অতএব AD ।। CF বা AB ।। CF
অর্থাৎ BD ।। CF আবার DF ।। BC
অতএব BDFC একটি সামান্তরিক।
অতএব DF = BC এবং BD = CF
আবার AD = CF
অতএব BD = AD
এর থেকে বলা যায় D হল AB এর মধ্যবিন্দু। ( প্রমাণিত )
এখন
[tex]\begin{array}{l}
DF = BC\\
\Rightarrow DE + EF = BC\\
\Rightarrow DE + DE = BC\\
\Rightarrow 2DE = BC\\
\Rightarrow DE = \frac{1}{2}BC
\end{array}[/tex]
( প্রমাণিত )
বিকল্প পদ্ধতিতে প্রমাণ ত্রিভুজের যেকোনো দুটি বাহুর মধ্যবিন্দু দ্বয়ের সংযোগ সরলরেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক হবে।
মনে করি ABC ত্রিভুজের AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু দুটি যথাক্রমে D ও E . D , E যুক্ত করা হল।
প্রমাণ করতে হবে যে (i) DE ।। BC এবং (ii) [tex]DE = \frac{1}{2}BC[/tex]
অঙ্কন : AC বাহুর মধ্যবিন্দু E দিয়ে AB বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা টানলাম যা BC বাহুকে F বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ : E , AC বাহুর মধ্যবিন্দু এবং EF ।। AB ( অঙ্কনানুযায়ী )
অতএব F , BC এর মধ্যবিন্দু অর্থাৎ [tex]BF = \frac{1}{2}BC[/tex] এবং [tex]EF = \frac{1}{2}AB[/tex]
সুতরাং [tex]EF = \frac{1}{2}AB = DB[/tex] ( যেহেতু D , AB এর মধ্যবিন্দু )
চতুর্ভুজ DBEF এর
FE = DB এবং EF ।। DB ( অঙ্কনানুযায়ী )
অতএব DBEF একটি সামান্তরিক।
সুতরাং DE ।। BF অর্থাৎ DE ।। BC ( প্রমাণিত )
[tex]DE = BF = \frac{1}{2}BC[/tex] ( প্রমাণিত )
ABC সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ BC এর মধ্যবিন্দু D . প্রমাণ করতে হবে [tex]AD = \frac{1}{2}BC[/tex]
ত্রিভুজ ABC হল সমকোণী ত্রিভুজ। যার [tex]\angle A = {90^ \circ }[/tex] এবং D হল BC বাহুর মধ্যবিন্দু।
প্রমাণ করতে হবে [tex]AD = \frac{1}{2}BC[/tex]
অঙ্কন : D থেকে AB এর সমান্তরাল সরলরেখা টানলাম যা AC কে E বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ : ত্রিভুজ ABC এর D হল BC বাহুর মধ্যবিন্দু এবং AD ।। DE ( অঙ্কনানুসারে ) .
অতএব E হল AC এর মধ্যবিন্দু এবং [tex]DE = \frac{1}{2}AB[/tex]
এখন ত্রিভুজ ADE ও ত্রিভুজ CDE এর
AE = EC
ED হল সাধারণ বাহু।
AB ।। ED এবং AC হল ভেদক অতএব [tex]\angle BAE = \angle DEC = {90^ \circ }[/tex]
অতএব [tex]\angle DEC = {90^ \circ }[/tex]
অতএব [tex]\angle DEA = \angle DEC[/tex]
অতএব ত্রিভুজ ADE [tex] \cong [/tex] ত্রিভুজ DEC
সুতরাং AD = DC
অতএব [tex]AD = DC = \frac{1}{2}BC[/tex]
ABC ত্রিভুজের AD মধ্যমার মধ্যবিন্দু E এবং বর্ধিত BE , AC বাহুকে F বিন্দুতে ছেদ করেছে প্রমাণ করতে হবে যে [tex]AF = \frac{1}{3}AC[/tex]
ABC ত্রিভুজের AD মধ্যমার মধ্যবিন্দু E এবং বর্ধিত BE , AC বাহুকে F বিন্দুতে ছেদ করেছে।
আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে [tex]AF = \frac{1}{3}AC[/tex]
অঙ্কন : D বিন্দু দিয়ে BF এর সমান্তরাল সরলরেখা টানলাম যা AC বাহুকে G বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ : ত্রিভুজ BFC এর BC বাহুর মধ্যবিন্দু হল D . [ যেহেতু AD হল মধ্যমা ]
এবং DG ।। BF ( অঙ্কনানুসারে )
অতএব G হল FC এর মধ্যবিন্দু।
সুতরাং FG = GC ...........(i)
এখন ADG ত্রিভুজের AD বাহুর মধ্যবিন্দু E এবং DG ।। EF ( অঙ্কনানুসারে )
অতএব F হল AG এর মধ্যবিন্দু।
সুতরাং AF = FG ............(ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই
AF = FG = GC
সুতরাং [tex]AF = \frac{1}{3}AC[/tex]
ABCD সামান্তরিকের AB ও DC বাহুর মধ্যবিন্দুদ্বয় যথাক্রমে E এবং F ; A , F ও C , E যোগ করলাম যা BD কর্ণ কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করল। প্রমাণ করতে হবে যে AF ও CE , BD কর্ণকে সমত্রিখণ্ডিত করেছে।
প্রমাণ : ABCD সামান্তরিকের AB ।। DC এবং AB = DC
অতএব AE ।। FC এবং [tex]\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}DC[/tex]
অর্থাৎ AE = FC অতএব AECF একটি সামান্তরিক।
সুতরাং AF ।। EC
এখন ত্রিভুজ BAP এর E হল AB এর মধ্যবিন্দু এবং QE ।। PA
অতএব Q হল PB এর মধ্যবিন্দু।
সুতরাং BQ = QP ............(i)
আবার ত্রিভুজ DCQ এর F হল DC এর মধ্যবিন্দু এবং FP ।। CQ
অতএব P হল DQ এর মধ্যবিন্দু।
সুতরাং QP = PD ............(ii)
(i) এবং (ii) থেকে পাই
BQ = QP এবং QP = PD
অতএব BQ = PQ = PD .
তিন বা ততোধিক সমান্তরাল সরলরেখা কোনো একটি ভেদক থেকে সমান সমান অংশে খণ্ডিত করলে অপর যে কোনো ভেদক থেকেও সমান সমান অংশ খণ্ডিত করবে।
মনে করি AB , CD এবং EF তিনটি সমান্তরাল সরলরেখাকে GH ভেদক যথাক্রমে U , V এবং W বিন্দুতে ছেদ করে এবং UV = VW
আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে আর একটি ভেদক PQ যদি AB , CD এবং EF তিনটি সমান্তরাল সরলরেখাকে যথাক্রমে X , Y এবং Z বিন্দুতে ছেদ করে তবে XY = YZ হবে।
অঙ্কন : UZ যুক্ত করা হল। UZ সরলরেখা CD সরলরেখাকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ : UWZ ত্রিভুজের VO ।। WZ এবং V হল UW এর মধ্যবিন্দু।
অতএব O হল UZ এর মধ্যবিন্দু।
আবার UXZ ত্রিভুজের UX ।। OY এবং O হল UZ এর মধ্যবিন্দু।
অতএব Y হল XZ এর মধ্যবিন্দু অর্থাৎ XY = YZ ( প্রমাণিত ) .
- 1282 views
