সীমা ( Limit )
সূচনা ( Introduction )
আমরা জানি , শূন্য দ্বারা ভাগ গণিতে অসংজ্ঞাত ( undefined ) . এজন্য x = 1 বিন্দুতে [tex]f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}[/tex] অপেক্ষকের মান অনির্ণেয়। অন্যভাবে বলা যায় x = 1 বিন্দুতে অপেক্ষকের মানের কোনো অস্তিত্ব থাকেনা। কিন্তু x এর মান 1 না হয়ে 1 এর খুব কাছাকাছি অর্থাৎ x = 0.99999999 বা x = 1.00000001 হলে অপক্ষকের সসীম মান পাওয়া যায়। উদাহরণস্বরূপ ,
[tex]f\left( {0.99999999} \right) = \frac{{{{\left( {0.99999999} \right)}^2} - 1}}{{0.99999999 - 1}} = 1.99999999[/tex]
আবার x = 1.00000001 হলে ,
[tex]f\left( {1.00000001} \right) = \frac{{{{\left( {1.00000001} \right)}^2} - 1}}{{1.00000001 - 1}} = 2.00000001[/tex]
স্পষ্টত x এর মান 1 না হয়ে 1 এর খুব কাছাকাছি হলে f(x) এর মান 2 এর খুব নিকটবর্তী হয়। এই পর্যবেক্ষন থেকে গণিতবিদগণ সসীম ধারণার ( concept of limit ) অবতারণা করেন। বস্তুত সীমা নির্ধারণ এমন একটি প্রক্রিয়া যার মাধ্যমে অপেক্ষকের অসংজ্ঞাত বিন্দুর নিকটতর অঞ্চলে তার মানের অস্তিত সম্পর্কে মূল্যায়ন করা যায়। এই অধ্যায়ে চলের ও অপেক্ষকের সীমা সম্মন্ধে আলোচনা করা হয়েছে।
চলের সীমা ( Limit of a Variable )
মনে করি x একটি বাস্তব চল এবং a একটি বাস্তব ধ্রূবক। এখন [tex]a + 1,a + \frac{1}{2},a + \frac{1}{3},..........[/tex] অসীম ক্রম ( Infinite Sequence ) নেওয়া হল। যদি x চল এই মানগুলো প্রদত্ত ক্রমে পরপর গ্রহণ করে এবং x এর গৃহীত মান ও a এর অন্তরের সাংখ্যমান ( numerical difference ) অর্থাৎ ।x - a। এর মান পূর্ব নির্দিষ্ট অতীব ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা ( সে যতই ক্ষুদ্র হোকনা কেন ) অপেক্ষাও ক্ষুদ্রতর করা যায় , তবে বলা যায় যে , x চল সর্বদা a অপেক্ষা বৃহত্তর থেকে ক্রমশ a এর দিকে অগ্রসর হচ্ছে। প্রতীকের সাহায্যে এটি [tex]x \to a + 0[/tex] বা [tex]x \to a + [/tex] আকারে প্রকাশ করা হয়।
আবার [tex]a - 1,a - \frac{1}{2},a - \frac{1}{3},..........[/tex] যদি অসীম ক্রম নেওয়া হয়। যদি x চল এই মানগুলো প্রদত্ত ক্রমে পরপর গ্রহণ করে এবং x এর গৃহীত মান ও a এর অন্তরের সাংখ্যমান ( numerical difference ) অর্থাৎ ।x - a। এর মান পূর্ব নির্দিষ্ট অতীব ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা ( সে যতই ক্ষুদ্র হোকনা কেন ) অপেক্ষাও ক্ষুদ্রতর করা যায় , তবে বলা যায় যে , x চল সর্বদা a অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর থেকে ক্রমশ a এর দিকে অগ্রসর হচ্ছে। প্রতীকের সাহায্যে এটি [tex]x \to a - 0[/tex] বা [tex]x \to a - [/tex] আকারে প্রকাশ করা হয়।
সবশেষে , যদি x চল একদিক থেকে [tex]a + 1,a + \frac{1}{2},a + \frac{1}{3},..........[/tex] অসীম ক্রমের মানগুলো প্রদত্ত ক্রমে পরপর গ্রহণ করে এবং অপরদিক থেকে [tex]a - 1,a - \frac{1}{2},a - \frac{1}{3},..........[/tex] অসীম ক্রমের মানগুলো প্রদত্ত ক্রমে পরপর গ্রহণ করে এবং x এর গৃহীত মান ও a এর অন্তরের সাংখ্যমান ( numerical difference ) অর্থাৎ ।x - a। এর মান পূর্ব নির্দিষ্ট অতীব ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা ( সে যতই ক্ষুদ্র হোকনা কেন ) অপেক্ষাও ক্ষুদ্রতর করা যায় , তবে বলা যায় যে , x চল সর্বদা a অপেক্ষা বৃহত্তর এবং অপরদিকে সর্বদা a অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর থেকে ক্রমশ a এর দিকে অগ্রসর হচ্ছে। এরূপ ক্ষেত্রে ,বলা হয় যে , x চলের সীমা a এবং প্রতীকের সাহায্যে এটি [tex]x \to a [/tex] বা [tex]\lim x = a[/tex] আকারে প্রকাশ করা হয়।
দ্রষ্টব্য
(১) [tex]x \to a + 0[/tex] ( অথবা [tex]x \to a + [/tex] ) হলে ,
(i) x এর গৃহীত মানসমূহ x এর থেকে বৃহত্তর হবে।
(ii) x এর গৃহীত মান ও a এর অন্তরের সাংখ্যমান ( numerical difference ) অর্থাৎ ।x - a। এর মান পূর্ব নির্দিষ্ট অতীব ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা ( সে যতই ক্ষুদ্র হোকনা কেন ) অপেক্ষাও ক্ষুদ্রতর হবে।
(iii) x এর গৃহীত মান সাধারণত a এর সমান হয় না।
(২) [tex]x \to a - 0[/tex] ( অথবা [tex]x \to a - [/tex] ) হলে ,
(i) x এর গৃহীত মানসমূহ x এর থেকে ক্ষুদ্রতর হবে।
(ii) x এর গৃহীত মান ও a এর অন্তরের সাংখ্যমান ( numerical difference ) অর্থাৎ ।x - a। এর মান পূর্ব নির্দিষ্ট অতীব ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা ( সে যতই ক্ষুদ্র হোকনা কেন ) অপেক্ষাও ক্ষুদ্রতর হবে।
(iii) x এর গৃহীত মান সাধারণত a এর সমান হয় না।
(৩) [tex]x \to a [/tex] বা [tex]\lim x = a[/tex] হলে ,
(i) x এর গৃহীত মানসমূহ x এর থেকে বৃহত্তর বা ক্ষুদ্রতর হবে।
(ii) x এর গৃহীত মান ও a এর অন্তরের সাংখ্যমান ( numerical difference ) অর্থাৎ ।x - a। এর মান পূর্ব নির্দিষ্ট অতীব ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা ( সে যতই ক্ষুদ্র হোকনা কেন ) অপেক্ষাও ক্ষুদ্রতর হবে।
(iii) x এর গৃহীত মান সাধারণত a এর সমান হয় না।
(৪) (i) [tex]x \to a [/tex] কে x tends to a এই ভাবে পড়তে হয়।
(ii) [tex]x \to a + 0[/tex] বা [tex]x \to a + [/tex] প্রতীকটিকে x ডানদিক থেকে a এর দিকে অগ্রসর হয় এইভাবে পড়তে হয়।
(iii) [tex]x \to a - 0[/tex] বা [tex]x \to a - [/tex] প্রতীকটিকে x বামদিক থেকে a এর দিকে অগ্রসর হয় এইভাবে পড়তে হয়।
অপেক্ষকের সীমাস্থ মান ( Limiting value of a function )
মনে করি x একটি বাস্তব চল , a একটি বাস্তব ধ্রূবক এবং f(x) হল একটি একমান বিশিষ্ট অপেক্ষক। এখন x চল সর্বদা a অপেক্ষা বৃহত্তর মানসমূহ গ্রহণ করে সর্বদা a এর দিকে অগ্রসর হলে যদি প্রতিটি x এর মানের অনুরূপ f(x) এর মান পাওয়া যায় , এবং f(x) এর প্রাপ্ত মান একটি নির্দিষ্ট ধ্রূবক [tex]{l_1}[/tex] এর দিকে অগ্রসর হয় , তবে [tex]{l_1}[/tex] কে f(x) এর ডানপক্ষের সীমাস্থমান ( right hand limit ) বলা হবে। অন্যকথায় বলা যায় যখন [tex]x \to a + [/tex] তখন যদি [tex]{l_1}[/tex] ধ্রূবক পাওয়া যায় , যাতে f(x) এর প্রাপ্তমান ও [tex]{l_1}[/tex] এর অন্তরের সংখ্যমান , অর্থাৎ [tex]\left| {f\left( x \right) - {l_1}} \right|[/tex] এর মান পূর্বনির্দিষ্ট ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা ( সে যতই ক্ষুদ্র হোক না কেন ) অপেক্ষাও ক্ষুদ্রতর হয় তখন [tex]{l_1}[/tex] কে f(x) অপেক্ষকের ডানদিকের সীমাস্থমান ( right hand limit ) বলে এবং তা [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a + } f\left( x \right) = {l_1}[/tex] বা [tex]f\left( {a + 0} \right) = {l_1}[/tex] প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
আবার x চল সর্বদা a অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর মানসমূহ গ্রহণ করে সর্বদা a এর দিকে অগ্রসর হলে যদি প্রতিটি x এর মানের অনুরূপ f(x) এর মান পাওয়া যায় , এবং f(x) এর প্রাপ্ত মান একটি নির্দিষ্ট ধ্রূবক [tex]{l_2}[/tex] এর দিকে অগ্রসর হয় , তবে [tex]{l_2}[/tex] কে f(x) এর বামপক্ষের সীমাস্থমান (left hand limit ) বলা হবে। অন্যকথায় বলা যায় যখন [tex]x \to a - [/tex] তখন যদি [tex]{l_2}[/tex] ধ্রূবক পাওয়া যায় , যাতে f(x) এর প্রাপ্তমান ও [tex]{l_2}[/tex] এর অন্তরের সংখ্যমান , অর্থাৎ [tex]\left| {f\left( x \right) - {l_2}} \right|[/tex] এর মান পূর্বনির্দিষ্ট ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা ( সে যতই ক্ষুদ্র হোক না কেন ) অপেক্ষাও ক্ষুদ্রতর হয় তখন [tex]{l_2}[/tex] কে f(x) অপেক্ষকের বামদিকের সীমাস্থমান ( left hand limit ) বলে এবং তা [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a - } f\left( x \right) = {l_2}[/tex] বা [tex]f\left( {a - 0} \right) = {l_2}[/tex] প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
x চল সর্বদা a অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর অথবা a অপেক্ষা বৃহত্তর মানসমূহ গ্রহণ করে সর্বদা a এর দিকে অগ্রসর হলে যদি প্রতিটি x এর মানের অনুরূপ f(x) এর মান পাওয়া যায় , এবং f(x) এর প্রাপ্ত মান একটি নির্দিষ্ট ধ্রূবক l এর দিকে অগ্রসর হয় , তবে l কে f(x) এর সীমাস্থমান ( limiting value ) বলা হবে। অন্যকথায় বলা যায় যখন [tex]x \to a [/tex] তখন যদি l ধ্রূবক পাওয়া যায় , যাতে f(x) এর প্রাপ্তমান ও l এর অন্তরের সংখ্যমান , অর্থাৎ [tex]\left| {f\left( x \right) - l} \right|[/tex] এর মান পূর্বনির্দিষ্ট ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা ( সে যতই ক্ষুদ্র হোক না কেন ) অপেক্ষাও ক্ষুদ্রতর হয় তখন l কে f(x) অপেক্ষকের সীমাস্থমান ( limiting value ) বলে এবং তা [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = l[/tex] প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
দ্রষ্টব্য
(১) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a } f\left( x \right)[/tex] এর অস্তিত্ব আছে বলা হবে , যদি
(i) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a + } f\left( x \right)[/tex] ও [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a - } f\left( x \right)[/tex] উভয়ের অস্তিত্ব থাকে।
(ii) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a +} f\left( x \right)[/tex] = [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a - } f\left( x \right)[/tex] হয়।
(২) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a } f\left( x \right)[/tex] এর অস্তিত্ব থাকবে না , যদি
(i) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a + } f\left( x \right)[/tex] এর অস্তিত্ব না থাকে।
(ii) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a - } f\left( x \right)[/tex] এর অস্তিত্ব না থাকে।
(iii) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a + } f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to a - } f\left( x \right)[/tex] হয়।
(৩) এখানে অপেক্ষকের সীমার সংজ্ঞা স্বজ্ঞাত পদ্ধিতিতে দেওয়া হয়েছে।
[tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a } f\left( x \right)[/tex] এবং f(a) এর পার্থক্য [ Distinction between [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a } f\left( x \right)[/tex] and f(a) ]
[tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a } f\left( x \right)[/tex] প্রতীক দ্বারা f(x) অপেক্ষকের মান সূচিত হয় , যখন x চলের a অপেক্ষা বৃহত্তর বা ক্ষুদ্রতর মানসমূহ গ্রহণ করে ক্রমশ a এর দিকে অগ্রসর হয়। কিন্তু x এর মান a এর সমান হলে f(x) অপেক্ষকের মান কত হবে তা বিবেচনা করা হয় না। অন্যদিকে f(a) প্রতীক দ্বারা f(x) অপেক্ষকের মান সূচিত হয় , যখন x এর মান a এর সমান হয়। x = a বিন্দুতে f(x) অপেক্ষকের সংজ্ঞা থেকে f(a) এর মান নির্ণয় করা হয়।
(১) x = a বিন্দুতে f(x) অপেক্ষক সংজ্ঞাত হলেও [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a } f\left( x \right)[/tex] এর অস্তিত্ব না থাকতেও পারে অনির্ণেয় হতে পারে।
উদাহরণস্বরূপ মনে করি , [tex]f\left( x \right) = \sqrt {4 - x} [/tex] এবং [tex]x \to 4 + [/tex] . x চলের মান সর্বদা 4 অপেক্ষা বৃহত্তর রেখে ক্রমশ 4 এর দিকে অগ্রসর হলে প্রতিক্ষেত্রে f(x) এর অবাস্তব মান পাওয়া যায়। সুতরাং f(x) এর মান অবাস্তব যখন [tex]x \to 4 + [/tex] . আবার মনে করি , [tex]f\left( x \right) = \sqrt {4 - x} [/tex] এবং [tex]x \to 4 - [/tex] . x চলের মান সর্বদা 4 অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর রেখে ক্রমশ 4 এর দিকে অগ্রসর হলে , f(x) এর প্রাপ্তমান ক্রমশ শূন্য এর দিকে অগ্রসর হয়। অর্থাৎ f(x) এর প্রাপ্তমান ও 0 এর অন্তরের সাংখ্যমান পূর্বনির্দিষ্ট ধনাত্মক সংখ্যা ( সে যতই ক্ষুদ্র হোক না কেন ) অপেক্ষাও ক্ষুদ্রতর করা যায় ; বা অন্যভাবে বলা যায় [tex]f\left( x \right) \to 0[/tex] যখন [tex]x \to 4 + [/tex] . অর্থাৎ [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 4 - } f\left( x \right) = 0[/tex] . x = 4 বিন্দুতে f(x) মান হবে 0 . সুতরাং দেখা যাচ্ছে [tex]f\left( x \right) = \sqrt {4 - x} [/tex] অপেক্ষকটির অস্তিত্ব [tex]x \to 4 [/tex] না থাকলেও f(x) এর মান কিন্তু x = 4 বিন্দুতে আছে।
(২) x = a বিন্দুতে f(x) অপেক্ষক অসংজ্ঞাত হলেও [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a } f\left( x \right)[/tex] অস্তিত্ব থাকতে পারে।
উদাহরণস্বরূপ মনে করি [tex]f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}}[/tex] . এই অপেক্ষকের মানের অস্তিত্ব আছে কিনা তা নির্ণয়ের জন্য x চলের মান 2 অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর ও বৃহত্তর রেখে 2 এর দিকে অগ্রসর হলে x ও f(x) এর মানসমূহের নিম্নলিখিত তালিকা তৈরী করা হল।
| x | 1.9 | 1.99 | 1.999 | 1.9999 | 2.1 | 2.01 | 2.001 | 2.0001 |
| f(x) | 3.9 | 3.99 | 3.999 | 3.9999 | 4.1 | 4.01 | 4.001 | 4.0001 |
তালিকা থেকে বোঝাযাচ্ছে x এর মান 2 এর দিকে ক্রমশ অগ্রসর হলে f(x) এর মান 4 এর দিকে অগ্রসর হয়। সুতরাং যখন [tex]x \to 2[/tex] তখন [tex]f\left( x \right) \to 4[/tex] অথবা [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = 4[/tex] . কিন্তু x = 2 বিন্দুতে f(x) অপেক্ষক অনির্ণেয় বা অসংজ্ঞাত।
(৩) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a } f\left( x \right)[/tex] ও f(a) উভয়ের মানের অস্তিত্ব থাকতে পারে কিন্তু সমান নাও হতে পারে।
উদাহরণস্বরূপ মনে করি [tex]f\left( x \right) = 1[/tex] যখন [tex]x \ne 0[/tex] এবং [tex]f\left( x \right) = 0[/tex] যখন [tex]x = 0[/tex] . এখন [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)[/tex] এর অস্তিত্ব নির্ণয় করতে হবে।
[tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)[/tex] এর অস্তিত্ব আছে কিনা তা নির্ণয়ের জন্য x চলের মান শূন্য অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর বা বৃহত্তর রেখে x ও f(x) এর মানসমূহের নিম্নলখিত তালিকা তৈরী করা হল।
| x | 0.1 | 0.01 | 0.001 | -0.1 | -0.01 | -0.001 |
| f(x) | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
উপরের তালিকা থেকে দেখা যাচ্ছে x এর মান 0 এর দিকে ক্রমশ অগ্রসর হলে f(x) এর মান প্রতি ক্ষেত্রে 1 হয় অর্থাৎ যখন [tex]x \to 0[/tex] তখন [tex]f\left( x \right) \to 1[/tex] . অতএব [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 1[/tex] . প্রদত্ত সংজ্ঞা থেকে পাই f(0) = 0 . আবার [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 1[/tex] . অতএব [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) \ne f\left( 0 \right)[/tex] .
(৪) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a } f\left( x \right)[/tex] ও f(a) উভয়ের মানের অস্তিত্ব থাকতে পারে আবার সমান হতে পারে।
(৫) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a } f\left( x \right)[/tex] ও f(a) উভয়ের মানের অস্তিত্ব নাও থাকতে পারে।
অপেক্ষকের সীমার বৈশ্লেষিক ধারণা ( Analytical concept of limit of a Function )
মনে করি x একটি বাস্তব চল , a একটি বাস্তব ধ্রূবক এবং f(x) হল একটি একমান বিশিষ্ট অপেক্ষক। গাণিতিক ভাবে , [tex]x \to a[/tex] হলে f(x) অপেক্ষকের সীমাস্থ মানকে l বলা হবে অর্থাৎ [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = l[/tex] . যদি যেকোনো প্রদত্ত ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা [tex]\varepsilon [/tex] এর ( যতই ক্ষুদ্র হোক না কেন ) জন্য এমন একটি ধনাত্মক সংখ্যা [tex]\delta [/tex] নির্ণয় করা সম্ভব হয় ( যেখানে [tex]\delta [/tex] এর মান [tex]\varepsilon [/tex] এর মানের উপর নির্ভরশীল ) , যাতে
[tex]\left| {f\left( x \right) - l} \right| < \varepsilon [/tex] যেখানে [tex]0 < \left| {x - a} \right| < \delta [/tex] .
এই অপেক্ষকের সীমার বৈশ্লেষিক ধারণাকে অনেক সময় সীমার মান নির্ণয়ে [tex]\left( {\delta ,\varepsilon } \right)[/tex] পদ্ধতি বলা হয়।
উদাহরণ 1. [tex]\left( {\delta ,\varepsilon } \right)[/tex] সংজ্ঞার সাহায্যে প্রমাণ করো যে , [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{2{x^2} - 18}}{{x - 3}} = 12[/tex] এবং [tex]\delta [/tex] এর মান নির্ণয় করো , যখন [tex]\varepsilon = 0.01[/tex] .
সমাধান :- মনে করি [tex]f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} - 18}}{{x - 3}}[/tex] .
অতএব
[tex]\begin{array}{l}
f\left( x \right) - 12\\
= \frac{{2{x^2} - 18}}{{x - 3}} - 12\\
= \frac{{2{x^2} - 18 - 12x + 36}}{{x - 3}}\\
= \frac{{2{x^2} - 12x + 18}}{{x - 3}}\\
= \frac{{2\left( {{x^2} - 6x + 9} \right)}}{{x - 3}}\\
= \frac{{2{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{\left( {x - 3} \right)}}\\
= 2\left( {x - 3} \right)
\end{array}[/tex]
এখন [tex]\varepsilon [/tex] একটি প্রদত্ত ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা হলে ,
[tex]\left| {f\left( x \right) - 12} \right| < \varepsilon [/tex] হবে , যখন [tex]0 < \left| {2\left( {x - 3} \right)} \right| < \varepsilon [/tex] .
বা , [tex]\left| {f\left( x \right) - 12} \right| < \varepsilon [/tex] হবে , যখন [tex]0 < \left| {x - 3} \right| < \delta [/tex] যেখানে [tex]\delta = \frac{\varepsilon }{2}[/tex] .
সুতরাং [tex]\left( {\delta ,\varepsilon } \right)[/tex] সংজ্ঞার সাহায্যে পাই ,
[tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = 12 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{2{x^2} - 18}}{{x - 3}} = 12[/tex] .
স্পষ্টতই [tex]\varepsilon = 0.01[/tex] হলে [tex]\delta = \frac{\varepsilon }{2} = \frac{{0.01}}{2} = 0.005[/tex] হবে।
[tex]x \to + \infty [/tex] এবং [tex]x \to - \infty [/tex] এর অর্থ ( Meaning of [tex]x \to + \infty [/tex] and [tex]x \to - \infty [/tex] )
যদি x চলরাশি সর্বদা ধনাত্মক মানসমূহ গ্রহণ করে সীমাহীনভাবে বৃদ্ধি পেতে থাকে , অর্থাৎ x এর গৃহীত মান আমাদের কল্পনায় আসা যেকোনো বৃহৎ ধনাত্মক মানের তুলনায় বৃহৎ হয় , তাহলে আমরা বলি যে x চল ধনাত্মক দিকে অসীমগামী এবং সেটি [tex]x \to + \infty [/tex] প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
একইভাবে যদি x চলরাশি সর্বদা ঋণাত্মক মানসমূহ গ্রহণ করে সাংখ্যমানে সীমাহীনভাবে বৃদ্ধি পেতে থাকে , অর্থাৎ x এর গৃহীত মান আমাদের কল্পনায় আসা যেকোনো বৃহৎ ধনাত্মক সংখ্যা G হলে , যদি x এর গৃহীত মান (-G) অপেক্ষাও ক্ষুদ্র হয় , তাহলে আমরা বলি যে x চল ঋণাত্মক দিকে অসীমগামী এবং সেটি [tex]x \to - \infty [/tex] প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
[ [tex] + \infty , - \infty [/tex] দ্বারা কোনো সংখ্যা প্রকাশিত হয় না। তারা শুধু প্রতীক মাত্র। x কর্তৃক গৃহীত ধনাত্মক মান অসীমের দিকে অগ্রসর হয় , তা বোঝানোর জন্য [tex] + \infty [/tex] এবং x কর্তৃক গৃহীত ঋণাত্মক মান সীমাহীনভাবে হ্রাস পায় তা বোঝানোর জন্য [tex] - \infty [/tex] ব্যবহার করা হয় ]
[tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \infty [/tex] এবং [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = - \infty [/tex] এর অর্থ ( Meaning of [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \infty [/tex] and [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = - \infty [/tex] )
মনে করি x একটি বাস্তব চল , a একটি বাস্তব ধ্রূবক এবং f(x) হল একটি একমান বিশিষ্ট অপেক্ষক। x চল a অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর বা a অপেক্ষা বৃহত্তর মানসমূহ গ্রহণ করে ক্রমশ a এর নিকট অগ্রসর হলে , যদি f(x) এর মানসমূহ ক্রমশ বৃহত্তর হতে থাকে এবং আমাদের কল্পনায় সম্ভব যেকোনো বৃহৎ ধনাত্মক সংখ্যা M অপেক্ষাও f(x) এর প্রাপ্তমান বৃহত্তর হয় , তবে আমরা বলি [tex]f\left( x \right) \to \infty [/tex] যখন [tex]x \to a[/tex] . সেটি [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \infty [/tex] প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
আবার , x চল a অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর বা a অপেক্ষা বৃহত্তর মানসমূহ গ্রহণ করে ক্রমশ a এর নিকট অগ্রসর হলে , যদি f(x) এর মানসমূহ সর্বদা ঋণাত্মক থেকে সাংখ্যমানে বৃহৎ থেকে ক্রমশ বৃহত্তর হতে থাকে এবং আমাদের কল্পনায় সম্ভব যেকোনো বৃহৎ ধনাত্মক সংখ্যা M হলে , যদি f(x) এর প্রাপ্তমান -M অপেক্ষাও ক্ষুদ্রতর হয় , তবে আমরা বলি যে [tex]f\left( x \right) \to - \infty [/tex] যখন [tex]x \to a[/tex] . সেটি [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = - \infty [/tex] প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
উদাহরণ 2. দেখাও যে , [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \infty [/tex] .
সমাধান :- মনে করি [tex]f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}[/tex] .
x চলের মান 1 অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর বা 1 অপেক্ষা বৃহত্তর রেখে 1 এর দিকে অগ্রসর হলে x ও f(x) এর যে মানসমূহ পাওয়া যায় তার একটি নিম্নলিখিত তালিকা এখানে তৈরি করা হল
| x | 0.9 | 0.99 | 0.999 | ... | 1.1 | 1.01 | 1.001 | ... |
| f(x) | 100 | 10000 | 1000000 | ... | 100 | 10000 | 1000000 | ... |
উপরের তালিকার প্রথম অংশ থেকে সহজেই বোঝা যাচ্ছে x এর মান 1 অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর রেখে ক্রমশ 1 এর নিকট অগ্রসর হলে f(x) এর মান ক্রমশ বৃহত্তর হতে থাকে যা আমাদের কল্পনার আসা কোনো বৃহৎ ধনাত্মক সংখ্যা , তার থেকেও বৃহৎ হয়। অতএব [tex]x \to 1-[/tex] হলে [tex]f\left( x \right) \to \infty [/tex] হয়। সুতরাং [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 1 - } f\left( x \right) = \infty [/tex] .
আবার উপরের তালিকার দ্বিতীয় অংশ থেকে সহজেই বোঝা যায় x এর মান 1 অপেক্ষা বৃহত্তর রেখে 1 এর নিকট অগ্রসর হলে f(x) এর মান ক্রমশ বৃহত্তর হতে থাকে যা আমাদের কল্পনার আসা কোনো বৃহৎ ধনাত্মক সংখ্যা , তার থেকেও বৃহৎ হয়। অতএব [tex]x \to 1+[/tex] হলে [tex]f\left( x \right) \to \infty [/tex] হয়। সুতরাং [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 1 + } f\left( x \right) = \infty [/tex] .
স্পষ্টতই [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 1 - } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1 + } f\left( x \right) = \infty [/tex] .
অতএব [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \infty \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \infty [/tex]
উদাহরণ 3. [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}[/tex] এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান :- মনে করি [tex]f\left( x \right) = \frac{1}{x}[/tex] .
x চলের মান 0 অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর বা 0 অপেক্ষা বৃহত্তর রেখে 0 এর দিকে অগ্রসর হলে x ও f(x) এর যে মানসমূহ পাওয়া যায় তার একটি নিম্নলিখিত তালিকা এখানে তৈরি করা হল
| x | 0.1 | 0.01 | 0.001 | ... | -0.1 | -0.01 | -0.001 | ... |
| f(x) | 10 | 100 | 1000 | ... | -10 | -100 | -1000 | ... |
উপরের তালিকার প্রথম অংশ থেকে সহজেই বোঝা যাচ্ছে x এর মান 0 অপেক্ষা বৃহত্তর রেখে ক্রমশ 0 এর নিকট অগ্রসর হলে f(x) এর মান ক্রমশ বৃহত্তর হতে থাকে যা আমাদের কল্পনার আসা কোনো বৃহৎ ধনাত্মক সংখ্যা , তার থেকেও বৃহৎ হয়। অতএব [tex]x \to 0+[/tex] হলে [tex]f\left( x \right) \to \infty [/tex] হয়। সুতরাং [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 + } f\left( x \right) = \infty [/tex] .
আবার উপরের তালিকার দ্বিতীয় অংশ থেকে সহজেই বোঝা যায় x এর মান 0 অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর রেখে 0 এর নিকট অগ্রসর হলে f(x) এর মানসমূহ সর্বদা ঋণাত্মক থেকে সাংখ্যমানে বৃহৎ থেকে ক্রমশ বৃহত্তর হতে থাকে যা আমাদের কল্পনার আসা কোনো বৃহৎ ধনাত্মক সংখ্যা , তার থেকেও বৃহৎ হয়। অতএব [tex]x \to 0-[/tex] হলে [tex]f\left( x \right) \to -\infty [/tex] হয়। সুতরাং [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0- } f\left( x \right) = -\infty [/tex] .
স্পষ্টতই [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 - } f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to 0 + } f\left( x \right)[/tex].
সুতরাং [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}[/tex] এর মানের অস্তিত্ব নেই।
[tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = a[/tex] এবং [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = b[/tex] এর অর্থ ( Meaning of [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = a[/tex] and [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = b[/tex] )
x চল সর্বদা ধনাত্মক মানসমূহ গ্রহণ করে সীমাহীনভাবে বৃদ্ধি পেতে থাকলে যদি একটি নির্দিষ্ট সসীম রাশি a পাওয়া যায় , যাতে f(x) এর প্রাপ্ত মান ও a এর অন্তরের সাংখ্যমান অর্থাৎ ।f(x) - a। এর মান যে কোনো ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা সে যতই ক্ষুদ্র হোক না কেন তা থেকেও ক্ষুদ্রতর হয় , তবে আমরা বলি যে যখন [tex]x \to \infty [/tex] তখন f(x) এর সীমাস্থ মান হবে l . সেটি [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = a[/tex] প্রতীকের সাহায্যে প্রকাশ করা হয়।
আবার x চল সর্বদা ঋণাত্মক মানসমূহ গ্রহণ করে সাংখ্যমানে সীমাহীনভাবে বৃদ্ধি পেতে থাকলে যদি একটি নির্দিষ্ট সসীম রাশি b পাওয়া যায় , যাতে f(x) এর প্রাপ্ত মান ও b এর অন্তরের সাংখ্যমান অর্থাৎ ।f(x) - b। এর মান যে কোনো ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা সে যতই ক্ষুদ্র হোক না কেন তা থেকেও ক্ষুদ্রতর হয় , তবে আমরা বলি যে যখন [tex]x \to - \infty [/tex] তখন f(x) এর সীমাস্থ মান হবে l . সেটি [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = b[/tex] প্রতীকের সাহায্যে প্রকাশ করা হয়।
মৌলিক সীমা উপপাদ্যসমূহ ( Fundamental Limit Theorems )
সীমা সংক্রান্ত প্রশ্নাবলীর সমাধানের জন্য প্রায় কয়েকটি উপপাদ্য ব্যবহৃত হয় , এদেরকে মৌলিক সীমা উপপাদ্য বলা হয়।
উপপাদ্য ১. মনে করি x একটি বাস্তব চল , [tex]f\left( x \right)[/tex] ও [tex]\phi \left( x \right)[/tex] হল x এর দুটি একমান বিশিষ্ট অপেক্ষক , a , l , m তিনটি নির্দিষ্ট সসীম রাশি এবং [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = l[/tex] ও [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \phi \left( x \right) = m[/tex] তাহলে ,
(i) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} cf\left( x \right) = c \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = cl[/tex] যেখানে c একটি সসীম ধ্রূবক।
(ii) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right) + \phi \left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \phi \left( x \right) = l + m[/tex]
(iii) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right) - \phi \left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) - \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \phi \left( x \right) = l - m[/tex]
(iv) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right) \times \phi \left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) \times \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \phi \left( x \right) = l \times m[/tex]
(v) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {\frac{{f\left( x \right)}}{{\phi \left( x \right)}}} \right] = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \phi \left( x \right)}} = \frac{l}{m}[/tex] যেখানে [tex]m \ne 0[/tex]
উপপাদ্য ২. [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = l[/tex] , [tex]\mathop {\lim }\limits_{y \to l} \phi \left( y \right) = \phi \left( l \right)[/tex] হলে [ যেখানে [tex]y = f\left( x \right)[/tex] এবং a , l ও [tex]\phi \left( l \right)[/tex] নির্দিষ্ট সসীম রাশি ] , [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \phi \left\{ {f\left( x \right)} \right\}[/tex] এর অস্তিত্ব থাকবে এবং [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \phi \left\{ {f\left( x \right)} \right\} = \phi \left\{ {\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)} \right\} = \phi \left( l \right)[/tex] .
উপপাদ্য ৩. x = a এর নিকটতর অঞ্চলে ( কিন্তু [tex]x \ne a[/tex] ) [tex]f\left( x \right) \le \phi \left( x \right)[/tex] হলে , [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) \le \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \phi \left( x \right)[/tex] হবে।
উপপাদ্য ৪. x = a এর নিকটতর অঞ্চলে ( কিন্তু [tex]x \ne a[/tex] ) [tex]f\left( x \right) \le \phi \left( x \right) \le \psi \left( x \right)[/tex] এবং [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = l[/tex] এবং [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \psi \left( x \right) = l[/tex] ( যেখানে a ও l নির্দিষ্ট সসীম রাশি ) , [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \phi \left( x \right)[/tex] এর অস্তিত্ব থাকবে এবং [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \phi \left( x \right) = l[/tex] হবে।
উদাহরণ 4. দেখাও যে [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^2} - 3x + 5} \right) = 3[/tex]
সমাধান :-
[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^2} - 3x + 5} \right)\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} x \times x - \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 3x + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 5\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} x \times \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} x - 3\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} x + 5
\end{array}[/tex]
[ উপপাদ্য ১ এর সাহায্যে পাই ]
[tex]\begin{array}{l}
= 2 \times 2 - 3 \times 2 + 5\\
= 4 - 6 + 5\\
= 3
\end{array}[/tex]
উদাহরণ 5. মান নির্ণয় করো [tex]\mathop {\lim }\limits_{y \to - 1} \frac{{{y^2} - 3y + 6}}{{2{y^2} + 5y}}[/tex] .
সমাধান :-
[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{y \to - 1} \frac{{{y^2} - 3y + 6}}{{2{y^2} + 5y}}\\
= \frac{{\mathop {\lim }\limits_{y \to - 1} \left( {{y^2} - 3y + 6} \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{y \to - 1} \left( {2{y^2} + 5y} \right)}}
\end{array}[/tex]
[ উপপাদ্য ১ এর (v) এর সাহায্য নিয়ে পাই ]
[tex]\begin{array}{l}
= \frac{{\mathop {\lim }\limits_{y \to - 1} {y^2} - \mathop {\lim }\limits_{y \to - 1} 3y + \mathop {\lim }\limits_{y \to - 1} 6}}{{\mathop {\lim }\limits_{y \to - 1} 2{y^2} + \mathop {\lim }\limits_{y \to - 1} 5y}}\\
= \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^2} - 3\left( { - 1} \right) + 6}}{{2{{\left( { - 1} \right)}^2} + 5\left( { - 1} \right)}}\\
= \frac{{1 + 3 + 6}}{{2 - 5}}\\
= \frac{{10}}{{ - 3}} = - \frac{{10}}{3}
\end{array}[/tex]
উদাহরণ 6. মান নির্ণয় করো [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \sin \left( {2{x^2} - x - 1} \right)[/tex] .
সমাধান :-
[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \sin \left( {2{x^2} - x - 1} \right)\\
= \sin \left[ {\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {2{x^2} - x - 1} \right)} \right]
\end{array}[/tex]
[ উপপাদ্য ২ এর সাহায্যে পাই ]
[tex]\begin{array}{l}
= \sin \left[ {\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 2{x^2} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} x - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 1} \right]\\
= \sin \left[ {2{{\left( 1 \right)}^2} - 1 - 1} \right]\\
= \sin \left[ {2 - 2} \right]\\
= \sin 0\\
= 0
\end{array}[/tex]
উদাহরণ 7. দেখাও যে [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \sqrt {{x^3} + 3{x^2} - x + 3} = 3[/tex]
সমাধান :-
[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \sqrt {{x^3} + 3{x^2} - x + 3} \\
= \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {{x^3} + 3{x^2} - x + 3} \right)}
\end{array}[/tex]
[ উপপাদ্য ২ এর সাহায্যে পাই ]
[tex]\begin{array}{l}
= \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {x^3} + \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} 3{x^2} - \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} x + \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} 3} \\
= \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^3} + 3{{\left( { - 2} \right)}^2} - \left( { - 2} \right) + 3} \\
= \sqrt { - 8 + 3 \times 4 + 2 + 3} \\
= \sqrt { - 8 + 12 + 5} \\
= \sqrt 9 = 3
\end{array}[/tex]
কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ সীমা ( Some important limits )
(A) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^n} - {a^n}}}{{x - a}} = n{a^{n - 1}}[/tex] , যেখানে n = যে কোনো মূলদ সংখ্যা।
প্রমাণ :- প্রথমত , মনে করি , n = ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। তাহলে ,
[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^n} - {a^n}}}{{x - a}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\left( {x - a} \right)\left( {{x^{n - 1}} + {x^{n - 2}} \cdot a + {x^{n - 3}} \cdot {a^2} + ......... + x \cdot {a^{n - 2}} + {a^{n - 1}}} \right)}}{{\left( {x - a} \right)}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {{x^{n - 1}} + {x^{n - 2}} \cdot a + {x^{n - 3}} \cdot {a^2} + ......... + x \cdot {a^{n - 2}} + {a^{n - 1}}} \right)\\
= {a^{n - 1}} + {a^{n - 2}} \cdot a + {a^{n - 3}} \cdot {a^2} + ........ + a \cdot {a^{n - 2}} + {a^{n - 1}}\\
= {a^{n - 1}} + {a^{n - 1}} + {a^{n - 1}} + ......... + {a^{n - 1}}\\
= n{a^{n - 1}}
\end{array}[/tex]
দ্বিতীয়ত , মনে করি n = ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা = -m , যেখানে m হল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। তাহলে ,
[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^n} - {a^n}}}{{x - a}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^{ - m}} - {a^{ - m}}}}{{x - a}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\frac{1}{{{x^m}}} - \frac{1}{{{a^m}}}}}{{x - a}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\frac{{ - \left( {{x^m} - {a^m}} \right)}}{{{{\left( {ax} \right)}^m}}}}}{{x - a}}\\
= - \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\left( {{x^m} - {a^m}} \right)}}{{\left( {x - a} \right)}} \times \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{1}{{{{\left( {ax} \right)}^m}}}\\
= - \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {{x^{m - 1}} + {x^{m - 2}} \cdot a + {x^{m - 3}} \cdot {a^2} + ....... + x \cdot {a^{m - 2}} + {a^{m - 1}}} \right) \times \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{1}{{{{\left( {ax} \right)}^m}}}\\
= - \left( {{a^{m - 1}} + {a^{m - 2}} \cdot a + {a^{m - 3}} \cdot a + ...... + a \cdot {a^{m - 2}} + {a^{m - 1}}} \right) \times \frac{1}{{{{\left( {a \cdot a} \right)}^m}}}\\
= - \left( {{a^{m - 1}} + {a^{m - 1}} + ....... + {a^{m - 1}}} \right) \times \frac{1}{{{a^{2m}}}}\\
= - m{a^{m - 1}} \times \frac{1}{{{a^{2m}}}}\\
= - m{a^{m - 1 - 2m}}\\
= - m{a^{ - m - 1}}\\
= n{a^{n - 1}}
\end{array}[/tex]
তৃতীয়ত , মনে করি , [tex]n = \frac{p}{q}[/tex] , যেখানে [tex]q \ne 0[/tex] ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং p ধনাত্মক বা ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা।
আবার মনে করি [tex]{x^{\frac{1}{q}}} = y[/tex] এবং [tex]{a^{\frac{1}{q}}} = b[/tex] যেখানে y এবং b বাস্তব।
[tex]\begin{array}{l}
x \to a\\
\Rightarrow {y^q} \to {b^q}\\
\Rightarrow y \to b
\end{array}[/tex]
অতএব যখন [tex]x \to a[/tex] তখন [tex]y \to b[/tex] .
এখন
[tex]\begin{array}{l}
\frac{{{x^n} - {a^n}}}{{x - a}}\\
= \frac{{{x^{\frac{p}{q}}} - {a^{\frac{p}{q}}}}}{{x - a}}\\
= \frac{{{{\left( {{x^{\frac{1}{q}}}} \right)}^p} - {{\left( {{a^{\frac{1}{q}}}} \right)}^p}}}{{x - a}}\\
= \frac{{{y^p} - {b^p}}}{{{y^q} - {b^q}}}\\
= \frac{{\frac{{{y^p} - {b^p}}}{{y - b}}}}{{\frac{{{y^q} - {b^q}}}{{y - b}}}}
\end{array}[/tex]
অতএব
[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^n} - {a^n}}}{{x - a}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{y \to b} \frac{{\frac{{{y^p} - {b^p}}}{{y - b}}}}{{\frac{{{y^q} - {b^q}}}{{y - b}}}}\\
= \frac{{\mathop {\lim }\limits_{y \to b} \frac{{{y^p} - {b^p}}}{{y - b}}}}{{\mathop {\lim }\limits_{y \to b} \frac{{{y^q} - {b^q}}}{{y - b}}}}\\
= \frac{{p{b^{p - 1}}}}{{q{b^{q - 1}}}}\\
= \frac{p}{q} \cdot {b^{p - 1 - q + 1}}\\
= n{a^{\frac{{p - q}}{q}}}\\
= n{a^{\frac{p}{q} - 1}}\\
= n{a^{n - 1}}
\end{array}[/tex]
উদাহরণ 8. মান নির্ণয় করো [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {1 + x} \right)}^{\frac{1}{2}}} - 1}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^{\frac{1}{3}}} - 1}}[/tex] [H.S. '90]
সমাধান :- মনে করি 1 + x = z , অতএব যখন [tex]x \to 0[/tex] তখন [tex]z \to 1[/tex] .
এখন
[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {1 + x} \right)}^{\frac{1}{2}}} - 1}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^{\frac{1}{3}}} - 1}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{z \to 1} \frac{{{z^{\frac{1}{2}}} - 1}}{{{z^{\frac{1}{3}}} - 1}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{z \to 1} \frac{{{{\left( {{z^{\frac{1}{3}}}} \right)}^{\frac{3}{2}}} - {{\left( {{1^{\frac{1}{3}}}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}{{{z^{\frac{1}{3}}} - 1}}\\
= \frac{3}{2} \times {1^{\frac{3}{2} - 1}}\\
\left[ {\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^n} - {a^n}}}{{x - a}} = n{a^{n - 1}}} \right]\\
= \frac{3}{2}
\end{array}[/tex]
(B) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1[/tex] , যেখানে x রেডিয়ানে মাপা হয়।
উদাহরণ 9. মান নির্ণয় করো [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{{\mathop{\rm tanx}\nolimits} }^ \circ }}}{x}[/tex]
সমাধান :- আমরা জানি [tex]{180^ \circ } = \pi \Rightarrow {x^ \circ } = \frac{{\pi x}}{{180}}[/tex] .
[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{{\mathop{\rm tanx}\nolimits} }^ \circ }}}{x}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan \frac{{\pi x}}{{180}}}}{x}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sin \frac{{\pi x}}{{180}}}}{{\cos \frac{{\pi x}}{{180}}}}}}{x}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \frac{{\pi x}}{{180}}}}{{x\cos \frac{{\pi x}}{{180}}}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \frac{{\pi x}}{{180}}}}{{\frac{{\pi x}}{{180}}}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{\pi }{{180}}}}{{\cos \frac{{\pi x}}{{180}}}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{{\sin z}}{z} \cdot \frac{\pi }{{180}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sec \frac{{\pi x}}{{180}}
\end{array}[/tex]
[ যেখানে [tex]\frac{{\pi x}}{{180}} = z[/tex] যখন [tex]x \to 0[/tex] তখন [tex]z \to 0[/tex] .]
[tex]\begin{array}{l}
= 1 \cdot \frac{\pi }{{180}}\sec \frac{{\pi \times 0}}{{180}}\\
= \frac{\pi }{{180}}
\end{array}[/tex]
(C) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {1 + x} \right)}^n} - 1}}{x} = n[/tex] , যেখানে n যে কোনো মূলদ রাশি।
প্রমাণ :- আমরা (A) থেকে পাই [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^n} - {a^n}}}{{x - a}} = n{a^{n - 1}}[/tex]
এখন x = 1 + x এবং a = 1 বসিয়ে পাই
[tex]\begin{array}{l}
x \to a\\
\Rightarrow x + 1 \to 1\\
\Rightarrow x \to 0
\end{array}[/tex]
অতএব যখন [tex]x \to a[/tex] তখন [tex]x \to 0[/tex]
এখন
[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^n} - {a^n}}}{{x - a}} = n{a^{n - 1}}\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {1 + x} \right)}^n} - 1}}{{1 + x - 1}} = n{\left( 1 \right)^{n - 1}}\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {1 + x} \right)}^n} - 1}}{x} = n
\end{array}[/tex]
(D) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x} = 1[/tex]
(E) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}{\log _e}\left( {1 + x} \right) = 1[/tex]
প্রমাণ :- মনে করি [tex]{\log _e}\left( {1 + x} \right) = z[/tex]
অতএব
[tex]\begin{array}{l}
{e^z} = 1 + x\\
\Rightarrow x = {e^z} - 1
\end{array}[/tex]
এখন
[tex]\begin{array}{l}
x \to 0\\
\Rightarrow {e^z} - 1 \to 0\\
\Rightarrow {e^z} \to 1\\
\Rightarrow z \to 0
\end{array}[/tex]
যখন [tex]x \to 0[/tex] তখন [tex]z \to 0[/tex] .
অতএব
[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}{\log _e}\left( {1 + x} \right)\\
= \mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{1}{{{e^z} - 1}} \cdot z\\
= \frac{1}{{\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{{{e^z} - 1}}{z}}}\\
= \frac{1}{1} = 1
\end{array}[/tex]
[ D এর সাহায্যে পাই ]
(F) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}} = e[/tex]
প্রমাণ :- আমরা জানি
[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}{\log _e}\left( {1 + x} \right) = 1\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\log _e}{\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}} = 1\\
\Rightarrow {\log _e}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}} = 1\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}} = e
\end{array}[/tex]
(G) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^x} = e[/tex]
প্রমাণ :-
আমরা জানি [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}} = e[/tex] ( F এর সাহায্যে পাই )
এখন [tex]x = \frac{1}{y}[/tex] বসালে। যখন [tex]x \to 0[/tex] তখন [tex]y \to \infty [/tex] .
অতএব
[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}} = e\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{y \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{y}} \right)^y} = e
\end{array}[/tex]
(H) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{a^x} - 1}}{x} = {\log _e}a[/tex] ( a > 0 )
প্রমাণ :- [tex]{a^x} = {e^z}[/tex] হলে ,
[tex]\begin{array}{l}
{a^x} = {e^z}\\
\Rightarrow {\log _e}{a^x} = {\log _e}{e^z}\\
\Rightarrow x{\log _e}a = z
\end{array}[/tex]
যখন [tex]x \to 0[/tex] তখন [tex]z \to 0[/tex]
[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{a^x} - 1}}{x}\\
= \mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{{{e^z} - 1}}{{\frac{z}{{{{\log }_e}a}}}}\\
= {\log _e}a \cdot \mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{{{e^z} - 1}}{z}\\
= {\log _e}a
\end{array}[/tex]
সংক্ষিপ্তকরণ ( Summarisation )
(১) [tex]x \to a[/tex] অর্থাৎ [tex]\lim x = a[/tex] হলে ,
(i) x চলের মান a অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর বা a অপেক্ষা বৃহত্তর হবে , কিন্তু x এর মান a এর সমান হবে না।
(ii) x এর গৃহীত মান এবং a এর অন্তরের সাংখ্যমান , অর্থাৎ ।x - a। এর মান পূর্বনির্দিষ্ট ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা অপেক্ষা ক্ষুদ্র হবে।
(২) [tex]x \to a + [/tex] বা [tex]x \to a + 0[/tex] হলে বুঝতে হবে x এর মান সর্বদা a অপেক্ষা বৃহত্তর মান গ্রহণ করে a এর নিকট অগ্রসর হবে , কিন্তু a এর সমান হবে না।
(৩) [tex]x \to a - [/tex] বা [tex]x \to a - 0[/tex] হলে বুঝতে হবে x এর মান সর্বদা a অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর গ্রহণ করে a এর নিকট অগ্রসর হবে , কিন্তু a এর সমান হবে না।
(৪) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = l[/tex] এর অর্থ :- x চলের মান a অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর বা a অপেক্ষা বৃহত্তর মানসমূহ গ্রহণ করে ক্রমশ a এর নিকট অগ্রসর হলে f(x) এর যে মানসমূহ পাওয়া যায় তা ক্রমশ l এর নিকট অগ্রসর হয়। যেখানে ল একটি নির্দিষ্ট ধ্রূবক। l কে f(x) অপেক্ষকের সীমাস্থ মান বলা হয় এবং f(x) ও l এর অন্তরের সাংখ্যমান অর্থাৎ । f(x) - l। এর মান আমাদের পূর্বনির্দিষ্ট ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর হবে।
(৫) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a + } f\left( x \right)[/tex] কে f(x) অপেক্ষকের x = a বিন্দুতে ডানপক্ষের সীমা বলা হয়।
(৬) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a - } f\left( x \right)[/tex] কে f(x) অপেক্ষকের x = a বিন্দুতে বামপক্ষের সীমা বলা হয়।
(৭) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a } f\left( x \right)[/tex] এর অস্তিত্ব আছে বলা হবে যদি [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a + } f\left( x \right)[/tex] ও [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a - } f\left( x \right)[/tex] এর অস্তিত্ব থাকে এবং [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a + } f\left( x \right)[/tex] = [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a - } f\left( x \right)[/tex] .
(৮) মৌলিক সীমা উপপাদ্য
(i)
[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {{f_1}\left( x \right) \pm {f_2}\left( x \right) \pm {f_3}\left( x \right) \pm ......} \right]\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to a} {f_1}\left( x \right) \pm \mathop {\lim }\limits_{x \to a} {f_2}\left( x \right) \pm \mathop {\lim }\limits_{x \to a} {f_3}\left( x \right) \pm ........
\end{array}[/tex]
(ii)
[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {{f_1}\left( x \right) \cdot {f_2}\left( x \right) \cdot {f_3}\left( x \right) \cdot ......} \right]\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to a} {f_1}\left( x \right) \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to a} {f_2}\left( x \right) \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to a} {f_3}\left( x \right) \cdot ........
\end{array}[/tex]
(iii) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {\frac{{f\left( x \right)}}{{\phi \left( x \right)}}} \right] = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \phi \left( x \right)}}[/tex] [[tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \phi \left( x \right) \ne 0[/tex]]
(iv) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \phi \left\{ {f\left( x \right)} \right\} = \phi \left\{ {\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)} \right\}[/tex]
(৯)
(i) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^n} - {a^n}}}{{x - a}} = n{a^{n - 1}}[/tex]
(ii) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1[/tex]
(iii) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {1 + x} \right)}^n} - 1}}{x} = n[/tex]
(iv) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x} = 1[/tex]
(v) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}{\log _e}\left( {1 + x} \right) = 1[/tex]
(vi) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}} = e[/tex]
(vii) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^x} = e[/tex]
(viii) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{a^x} - 1}}{x} = {\log _e}a[/tex] ( a > 0 )
(১০) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)[/tex] তে x - a = h বা , x = a + h বসিয়ে এটিতে [tex]\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f\left( a + h \right)[/tex] আকারে লেখা যায় , অর্থাৎ [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f\left( {a + h} \right)[/tex] .
(১১) যদি [tex]x \to 0[/tex] হলে , [tex]u \to 0[/tex] হয় এবং [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = l[/tex] হয় , তবে [tex]\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} f\left( u \right) = l[/tex] হবে।
(১২) যদি [tex]x \to \infty [/tex] এবং [tex]z = \frac{1}{x}[/tex] হয় , তবে [tex]z \to 0 + [/tex] হবে।
সুতরাং , [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to 0 + } f\left( {\frac{1}{z}} \right)[/tex]
উদাহরণ 10. মান নির্ণয় করো [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + ax} - \sqrt {1 - ax} }}{x}[/tex] [H.S '86]
সমাধান :-
[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + ax} - \sqrt {1 - ax} }}{x}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt {1 + ax} - \sqrt {1 - ax} } \right)\left( {\sqrt {1 + ax} + \sqrt {1 - ax} } \right)}}{{x\left( {\sqrt {1 + ax} + \sqrt {1 - ax} } \right)}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {1 + ax} \right) - \left( {1 - ax} \right)}}{{x\left( {\sqrt {1 + ax} + \sqrt {1 - ax} } \right)}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2ax}}{{x\left( {\sqrt {1 + ax} + \sqrt {1 - ax} } \right)}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2a}}{{\left( {\sqrt {1 + ax} + \sqrt {1 - ax} } \right)}}\\
= \frac{{2a}}{{\sqrt {1 + a \cdot 0} + \sqrt {1 - a \cdot 0} }}\\
= \frac{{2a}}{2}\\
= a
\end{array}[/tex]
উদাহরণ 11. [tex]f\left( x \right) = \frac{1}{x}[/tex] হলে , [tex]\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {1 + h} \right) - f\left( 1 \right)}}{h}[/tex] সীমার মান নির্ণয় করো।
সমাধান :- যেহেতু [tex]f\left( x \right) = \frac{1}{x}[/tex] অতএব [tex]f\left( {1 + h} \right) = \frac{1}{{1 + h}}[/tex] এবং [tex]f\left( 1 \right) = \frac{1}{1} = 1[/tex] .
এখন
[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {1 + h} \right) - f\left( 1 \right)}}{h}\\
= \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\frac{1}{{1 + h}} - 1}}{h}\\
= \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{1 - 1 - h}}{{h\left( {1 + h} \right)}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{ - h}}{{h\left( {1 + h} \right)}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{ - 1}}{{1 + h}}\\
= \frac{{ - 1}}{{1 + 0}} = - 1
\end{array}[/tex]
উদাহরণ 12. [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{3x}} - 1}}{{\log \left( {1 + 5x} \right)}}[/tex] [H.S. '96]
সমাধান :-
[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{3x}} - 1}}{{\log \left( {1 + 5x} \right)}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{{e^{3x}} - 1}}{{3x}}}}{{\frac{{\log \left( {1 + 5x} \right)}}{{5x}}}} \times \frac{3}{5}\\
= \frac{3}{5} \times \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{3x}} - 1}}{{3x}}}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{5x}}\log \left( {1 + 5x} \right)}}\\
= \frac{3}{5} \times \frac{{\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{{e^u} - 1}}{u}}}{{\mathop {\lim }\limits_{v \to 0} \frac{1}{v}\log \left( {1 + v} \right)}}
\end{array}[/tex]
[ যেখানে 3x = u এবং 5x = v যখন [tex]x \to 0[/tex] তখন [tex]u \to 0[/tex] ও [tex]v \to 0[/tex] ]
[tex]\begin{array}{l}
= \frac{3}{5} \times \frac{1}{1}\\
= \frac{3}{5}
\end{array}[/tex]
