দ্বিঘাত করণীর কয়েকটি ধর্ম (Properties of Quadratic Surds)

Submitted by arpita pramanik on Thu, 08/27/2020 - 19:17

দ্বিঘাত করণীর কয়েকটি ধর্ম (Some Properties of Quadratic Surds):-

1.  দুটি অসদৃশ দ্বিঘাত করণীর গুণফল মূলদ রাশি হতে পারে না

মনে করি  √(x ), √y দুটি অসদৃশ দ্বিঘাত করণী ।
আমাদের এখন প্রমাণ করতে হবে √(x) × √y মূলদ রাশি হবে না ।
মনে করি √(x) × √y = m হল মূলদ রাশি ।
সুতরাং √y = m / √x = (m × √x) / (√x × √x) = m / x √x
√y = (মূলদ রাশি) × √x [যেহেতু  m/x হল মূলদ রাশি]
 অতএব √(x ), √y দুটি করণী সদৃশ যা কল্পনাবিরোধী ।
সুতরাং √(x ) × √y এটি কখনও মূলদ রাশি হতে পারেনা ।
অতএব প্রমাণিত যে দুটি অসদৃশ দ্বিঘাত করণীর গুনফল মূলদ রাশি হবে না ।

 

2.  একটি সরল দ্বিঘাত করণী কখনও একটি মূলদ রাশি ও একটি  দ্বিঘাত করণীর যোগফল বা অন্তরফল সমান হতে পারে না ।

মনে করি √(x) হল একটি সরল দ্বিঘাত করণী ।
ধরি   
যেখানে a হল একটি মূলদ রাশি ও  √b হল একটি দ্বিঘাত করণী ।
   
দেখা যাছে √b হল মূলদ সংখ্যা যা আমাদের কল্পনাবিরোধী ।
অতএব প্রমাণিত একটি সরল দ্বিঘাত করণী কখনও একটি মূলদ রাশি ও একটি দ্বিঘাত করণীর যোগফলের সমান হতে পারে না ।
অনুরূপে প্রমাণ করা যায় একটি সরল দ্বিঘাত করণী কখনও একটি মূলদ রাশি ও একটি দ্বিঘাত করণীর অন্তরফলের সমান হতে পারে না ।

 

3.  একটি সরল দ্বিঘাত করণী কখনও দুটি অসদৃশ সরল দ্বিঘাত করণীর যোগফল বা অন্তরফলের সমান হতে পারে না ।

মনে করি √(x) হল একটি সরল দ্বিঘাত করণী ।
ধরি [tex]\sqrt x = \sqrt a + \sqrt b [/tex]
যেখানে √(a), √(b) হল দুটি অসদৃশ সরল দ্বিঘাত করণী ।
যেহেতু √(a), √(b) হল দুটি অসদৃশ সরল দ্বিঘাত করণী । তাই √(ab) ও করণী হবে । কিন্তু দেখা যাছে √(ab) একটি মূলদ সংখ্যা যা কল্পনাবিরোধী । অতএব প্রমাণিত একটি সরল দ্বিঘাত করণী কখনও দুটি অসদৃশ সরল দ্বিঘাত করণীর যোগফলের সমান হতে পারে না । অনুরূপে প্রমাণ করা যায় একটি সরল দ্বিঘাত করণী কখনও দুটি অসদৃশ সরল দ্বিঘাত করণীর অন্তরফলের সমান হতে পারে না ।

 

4. a ও x উভয়েই মূলদ রাশি, √(b)  ও √y  উভয়েই করণী এবং a + √b = x + √y হলে a = x ও b = y হবে ।

মনে করি a ও x সমান নয় ।
ধরি [tex]x = a + m[/tex], যেখানে m একটি মূলদ রাশি ।

অতএব [tex]\begin{array}{l} a + \sqrt b = x + \sqrt y \\ \Rightarrow a + \sqrt b = a + m + \sqrt y \\\Rightarrow \sqrt b = m + \sqrt y \end{array}[/tex]
কিন্তু এটি অসম্ভব কারণ দ্বিঘাত করণীর দ্বিতীয় ধর্ম থেকে ।
অতএব a = x
আবার a = x হলে [tex]a + \sqrt b = x + \sqrt y[/tex]  থেকে পাই, [tex]\sqrt b = \sqrt y[/tex] বা b = y

 

 

 

Comments

Related Items

সূচক সংক্রান্ত অংকের সমাধান (Solution of Indices )

সূচকের বিভিন্ন ধরণের অংকের সমাধান (Solution of Indices ), উচ্চ মাধ্যমিক, জয়েন্ট এন্ট্রান্স ও বিভিন্ন পরীক্ষায় আগত প্রশ্নের সমাধান

সূচকের সংক্ষিপ্তকরণ (Summary of indices)

সূচকের নিয়মাবলীর সংক্ষিপ্তকরণ । a ও b এর মান শূন্য না হলে m ও n এর যে কোনো বাস্তব মানের জন্য সূচকের নিম্নলিখিত সূত্রাবলি হল ।

জটিল রাশির বীজগণিত (Algebra of Complex Numbers)

দুটি জটিল রাশির যোগফল একটি জটিল রাশি হয় , দুটি জটিল রাশির বিয়োগফল একটি জটিল রাশি হয় , জটিল রাশির গুণফল একটি জটিল রাশি হবে, জটিল রাশির ভাগফল একটি জটিল রাশি হবে, একটি জটিল রাশির যেকোনো অখন্ড ঘাত একটি জটিল রাশি হয়

জটিল রাশির ধর্ম ( Properties of Complex Numbers)

বাস্তব সংখ্যার ন্যায় জটিল রাশি যোগ ও গুণ সাপেক্ষে বিনিময় (Commutative), সংযোগ (Associative) এবং বিচ্ছেদ (Distributive) নিয়ম মেনে চলে । দুটি পরস্পর অনুবন্দি জটিল রাশির যোগফল ও গুণফল উভয়ই বিশুদ্ধ বাস্তব রাশি ।

দুটি জটিল রাশির গুণফল ও ভাগফলের মডিউলাস এবং আরগুমেন্ট নির্ণয়

দুটি জটিল রাশির গুণফল ও ভাগফলের মডিউলাস এবং আরগুমেন্ট নির্ণয় , দুটি জটিল রাশির গুণফলের মডিউলাস = তাদের পৃথক পৃথক ভাবে মডিউলাস এর গুণফলের সঙ্গে সমান ।