দ্বিতীয় অধ্যায়ঃ গাণিতিক আরোহণ তত্ত্ব ( Theory of Mathematical Induction )
সূচনা ( Introduction )
সাধারণত আমরা কোনো সূত্র , অসমতা , উপপাদ্য ইত্যাদি প্রমাণে দুটি পদ্ধতি প্রয়োগ করি। এই দুটি পদ্ধতি হল (১) অবরোহণ বা অবরোহ ( Deduction ) এবং (২) আরোহণ ( Induction ) .
(১) অবরোহণ বা অবরোহ ( Deduction ) :
যে পদ্ধতির সাহায্যে আমরা সাধারণ নিয়ম থেকে বিশেষ নিয়ম প্রতিষ্ঠা করি , তাকে অবরোহণ বা অবরোহ ( Deduction ) বলে।
(২) আরোহণ ( Induction ) :
যে পদ্ধতির সাহায্যে আমরা বিশেষ নিয়ম থেকে সাধারণ নিয়ম প্রতিষ্ঠা করি, তাকে আরোহণ ( Induction ) বলে।
এই অধ্যায়ে কেবল গাণিতিক আরোহণ ( Mathematical Induction ) সম্পর্কে আলোচনা করা হয়েছে। পর্যবেক্ষণ থেকে এই পদ্ধতির সূচনা হয়। পর্যবেক্ষণ থেকে যে ধারণা পাওয়া যায় ,তা প্রয়োগ করে যে সিদ্ধান্ত পাই , তাকে গাণিতিক বিবৃতি ( Mathematical statement)
বলে। এই গাণিতিক বিবৃতি সত্যি বা মিথ্যা দুই হতে পারে।
গাণিতিক আরোহণ তত্ত্ব ( Principle of Mathematical Induction )
মনে করি একটি স্বাভাবিক সংখ্যার সেট হল N = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ...................} এবং স্বাভাবিক সংখ্যা n সমন্বিত একটি গাণিতিক বিবৃতি হল P(n) এমন যে,
(i) P(1) সত্য অর্থাৎ n = 1 এ P(n) সত্য।
এবং (ii) P(m) সত্য হলে P(m+1) সত্য হয়।
তাহলে P(n) গাণিতিক বিবৃতি n এর সব মানে সত্য হবে , যেখানে [tex]n \in N[/tex] .
নিম্নোলিখিত পদ্বতির সাহয্যে , গণিতিক আরোহণ তত্বের প্ৰয়োগে স্বভাবিক সংখা n -সমন্বিত কোনো গাণিতিক সূত্রের প্রমান করা যায় :
প্রথমত, ধরা যাক , P (n )= n -সমন্বিত গাণিতিক সম্মন্ধ ( যা প্রশ্নে প্রমান করতে বলা হয়েছে ).
দ্বিতীয়ত, n =1 প্রয়োগ করে দেখা যায় যে P (n ) সত্য, যখন [tex]n \ge 1[/tex];
n =2প্রয়োগ করে দেখা যায় যে P (n ) সত্য, যখন [tex]n \ge 2[/tex]; ইত্যাদি
তৃতীয়ত, মনে করা হয় ,n এর কোনো বিশেষ মান m -এ P(n ) সত্য
অবশেষে, n = m-এ P(n ) সত্য এই অনুমান প্রয়োগ করা হয় যে, n =(m +1)- এ P(n ) সত্য হবে.
- 30 views
