প্রথম অধ্যায়ঃ সম্ভাবনা তত্ত্ব( Probability Theory )
সূচনা ( Introduction )
মনে করি
(১) ঝোঁকশূন্য কোনো মুদ্রাকে উপরের দিকে ছুড়ে দেওয়া হল , এতে হেড পড়ার সম্ভাবনা কত ?
(২) একটি বাক্সে চারটি আলাদা রঙের বল আছে যেকোনো একটি রঙের বল তোলার সম্ভাবনা কত ?
(৩) একটি লুডোর ছক্কা তে ছয় পড়ার সম্ভাবনা কত ?
উপরের তিনটি প্রশ্নের ক্ষেত্রে প্রথমটি 50% , দ্বিতীয়টি 25% এবং তৃতীয়টি [tex]\frac{1}{6}[/tex] উত্তর সহজেই নির্ণয় করা। অনেক ক্ষেত্রে সহজে নির্ণয় করা যায় না। যেমন একটি তাসের প্যাকেট থেকে দুটি ইস্কাবন হওয়ার সম্ভাবনা কত ?
উপরের আলোচনা থেকে বলা যায় কোনো নির্দিষ্ট ঘটনা ঘটার মাত্রা সম্ভাবনার সাহায্যে প্রকাশ করা হয়।
কয়েকটি সংজ্ঞা ( Some Definitions )
(১) সমসম্ভব পরীক্ষা ( Random experiment )
যে সব পরীক্ষা বা পর্যবেক্ষণের ক্ষেত্রে কোন ঘটনা ঘটবে বা কোন ফল পাওয়া যাবে তা নিশ্চিতভাবে বলা যায় না তাদের সমসম্ভব পরীক্ষা ( Random experiment ) বলে।
যেমন একটি ঝোঁকশূন্য কোনো মুদ্রাকে উপরের দিকে ছুড়ে দেওয়া হল। এ ক্ষেত্রে হেড পড়বে না টেল পড়বে তা নিশ্চিত ভাবে বলা যায় না।
(২) ঘটনা ( Event )
সমসম্ভব পরীক্ষার সঙ্গে সম্পর্কিত যে কোনো একটি ফলকে একটি ঘটনা ( Event ) বলে।
উদাহরণস্বরূপ , একটি ঝোঁকশূন্য কোনো মুদ্রাকে উপরের দিকে ছুড়ে দেওয়া হল। এ ক্ষেত্রে হেড পড়বে অথবা টেল পড়বে।এক্ষেত্রে হেড এবং টেলের প্রত্যেকটিকে সমসম্ভব পরীক্ষার ঘটনা বলে।
(৩) পরস্পর পৃথক ঘটনা ( Mutually exclusive events )
দুই বা ততোধিক ঘটনা যদি পরস্পর এমনভাবে সম্বন্ধযুক্ত থাকে যে , তাদের কোনো দুটো ঘটনা এক সাথে ঘটা সম্ভব নয় , তাহলে ঘটনা সমূহকে পরস্পর পৃথক ঘটনা ( Mutually exclusive events ) বলে।
(৪) অসম্ভব ঘটনা ও নিশ্চিত ঘটনা ( Impossible event and Certain or Sure event )
যদি কোনো সমসম্ভব পরীক্ষায় আমরা নিশ্চিত করে বলতে পারি এইরূপ কোনো ঘটনা যা পর্যবেক্ষণে ঘটতে পারেনা তবে এরূপ কল্পিত ঘটনাকে অসম্ভব ঘটনা ( Impossible event) বলে। সাধারণত অসম্ভব ঘটনা [tex]\phi [/tex] চিহ্ন দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং উহা ঘটবার সম্ভাবনা শূন্য অর্থাৎ [tex]P\left( \phi \right) = 0[/tex] .উদাহরণস্বরূপ ,একটি বাক্সে 4 লাল বল ও 5 সাদা বল আছে। বাক্স থেকে 1 টি বল তোলা হল। বলটি সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা হবে শূন্য।
আবার কোনো সমসম্ভব পরীক্ষায় আমরা নিশ্চিত করে বলতে পারি এইরূপ কোনো ঘটনা যা পর্যবেক্ষণে ঘটতে পারে তবে এরূপ কল্পিত ঘটনাকে নিশ্চিত ঘটনা (Certain or Sure event ) বলে। উদাহরণস্বরূপ , একটি মুদ্রাকে উপরের দিকে উৎক্ষেপণ করলে হেড অথবা টেল পড়বেই। নিশ্চিত ঘটনাকে সাধারণত S অক্ষর দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং তা ঘটার সম্ভাবনা [tex]P\left( S \right) = 1[/tex].
(৫) পূরক ঘটনা ( Complementary event)
একটি নির্দিষ্ট ঘটনার বিকল্প ঘটনাকে পূরক ঘটনা ( Complementary event) বলে। উদাহরণস্বরূপ 'হেড ' ঘটার পূরক ঘটনা হল 'টেল ' ঘটা। যদি A একটি ঘটনা হয় তবে পূরক ঘটনা [tex]{A^c}[/tex] বা [tex]{A^/}[/tex] বা [tex]\bar A[/tex] দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
(৬) সমভাবে সম্ভাব্য ঘটনা ( Equally likely events )
সমসম্ভব পরীক্ষার সঙ্গে সম্পর্কিত দুই বা তোতধিক ঘটনাকে সমভাবে সম্ভাব্য ঘটনা বলা হবে যখন ঘটনাসমূহের প্রত্যেকটি ঘটনা ঘটিবার সম্ভাবনা সমান হবে। উদাহরণস্বরূপ , একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রাকে উৎক্ষেপণ করলে হেড ও টেল পড়ার সম্ভাবনা 50% অর্থাৎ সমান। আবার কোনো লুডোর ছক্কাকে ফেললে এক ,দুই ,তিন ,চার ,পাঁচ ,ছয় পড়ার সম্ভাবনা সমান হয়। প্রতীকের সাহায্যে A ও B ঘটনাদ্বয় সমভাবে ঘটলে [tex]P\left( A \right) = P\left( B \right)[/tex] হবে।
(৭) সম্পূর্ণ ঘটনাসমূহ ( Exhaustive events)
সমসম্ভব পরীক্ষার সঙ্গে সম্পর্কিত দুই বা ততোধিক ঘটনা যদি এমন হয় যে ,পরীক্ষা বা পর্যবেক্ষণের প্রত্যেক ক্ষেত্রে ঘটনা গুলির মধ্যে কমপক্ষে একটি অবশ্যই ঘটবে ,তবে উক্ত ঘটনাসমূহকে সম্পূর্ণ ঘটনাসমূহ বলে। উদাহরণস্বরূপ ঝোঁকশূন্য মুদ্রা কে উৎক্ষেপণের সমসম্ভব পরীক্ষায় সংশ্লিষ্ট দুটি ঘটনা যদি A ও B হয় ,
[tex]A \equiv [/tex]হেড পড়ার ঘটনা ;[tex]B \equiv [/tex]টেল পড়ার ঘটনা;
তবে A ও B ঘটনা দুটি সম্পূর্ণ ( Exhaustive )কারণ পরীক্ষা বা পর্যবেক্ষণের প্রত্যেক ক্ষেত্রে A অথবা B যেকোনো একটি পড়বেই।
(৮) অনুকূল ঘটনা ( Favourable events )
কোনো সমসম্ভব পরীক্ষার ফলাফল গুলির মধ্যে কোন একটি নির্দিষ্ট ঘটনা A এর ঘটবার সঙ্গে সম্পর্কিত ঘটনা গুলিকে A এর ঘটবার অনুকূল ঘটনা বলে।
উদাহরণস্বরূপ : দুটি মুদ্রাকে উৎক্ষেপণ করলে যে ফলগুলি পাওয়া যায় তা হল HH , HT , TH এবং TT , যেখানে ' H ' হল হেড এবং ' T 'হল টেল। ঘটনা চারটি থেকে দেখা যাচ্ছে যে , কমপক্ষে একটি হেড পড়ার সম্ভাবনা হল 3 .অতএব হেড পড়ার পক্ষে অনুকূল ঘটনা হল 3. একই রকমভাবে টেল পড়ার অনুকূল ঘটনা হল 3.
নমুনা দেশ বা ঘটনা দেশ ( Sample space or Event space )
যদি E একটি সমসম্ভব পরীক্ষা হয় ,উহার সহিত সম্পর্কিত যেকোনো সরল ঘটনাকে নমুনা বিন্দু বা ঘটনা বিন্দু ( Sample point or Event point ) বলে। আবার সম্ভাব্য সকল নমুনা বিন্দু দিয়ে যে সেট পাওয়া যায় তাকে E পরীক্ষার নমুনা দেশ বা ঘটনা দেশ ( Sample space or Event space ) বলে। নমুনা দেশকে সাধারণত S অক্ষর দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
যদি S নমুনা দেশে গণনা করা যায় এরূপ সসীম বা অসীম সংখ্যক নমুনা বিন্দু আছে তাহলে উহাকে বিচ্ছিন্ন বা অসন্তত নমুনা দেশ ( Discrete sample space )বলে। অন্যভাবে ,নমুনা দেশে গণনা করা যায় না এরূপ অসীম সংখ্যক নমুনা বিন্দু আছে তাহলে উহাকে অবিচ্ছিন্ন বা সন্তত নমুনা দেশ ( Continuous sample space ) বলে।
S নমুনা দেশে যেকোনো উপসেট A কে E পরীক্ষার সঙ্গে সম্পর্কিত একটি ঘটনা বলে অর্থাৎ একটি ঘটনা হল কতগুলি নমুনা বিন্দুর সমষ্টি। স্পষ্টতই নমুনা দেশ S দ্বারা নিশ্চিত ঘটনা এবং অসম্ভব ঘটনা প্রকাশিত হয়।
সম্ভাবনার প্রাচীন বা গাণিতিক সঙ্গে ( Classical or Mathematical Definition of Probability )
মনে করি ,E সমসম্ভব পরীক্ষার ( Random experiment )নমুনা দেশ (Sample space ) S এর মধ্যে সমভাবে সম্ভাব্য বা পরস্পর সুসমঞ্জস ( Equally likely or Mutually symmetrical ) n(S) সংখ্যক নমুনা বিন্দু [ n(S) এর মান সসীম ] আছে। যদি নমুনা দেশে n(S) সংখ্যক নমুনা বিন্দুর মধ্যে m(A) সংখ্যক নমুনাবিন্দু , E পরীক্ষার সঙ্গে সম্পর্কিত কোন ঘটনা A এর অন্তর্গত হয় , তবে [tex]\frac{{m\left( A \right)}}{{n\left( S \right)}}[/tex] অনুপাতকে A ঘটনা ঘটিবার সম্ভাবনা বলে এবং উহা P(A) দ্বারা প্রকাশিত হয়।
সুতরাং [tex]P\left( A \right) = \frac{{m\left( A \right)}}{{n\left( S \right)}}[/tex]
সম্ভাবনা নির্ণয়ের ধাপ ( Steps in Calculating Probability )
- কোনো একটি পরীক্ষায় পরস্পর বিচ্ছিন্ন ,সমগ্র এবং সমভাবে সম্ভাব্য সকল প্রকার ফলাফলের সংখ্যা গণনা করতে হবে। ধরা যাক এই সংখ্যা হল n .
- A হল যথেচ্ছ পরীক্ষার সঙ্গে সম্পর্কযুক্ত একটি ঘটনা। যার সম্ভাবনা নির্ণয় করতে হবে ও তার পক্ষে অনুকূল সমস্ত ঘটনাসমূহ নির্ণয় করতে হবে। ধারা যাক এই সংখ্যা হল m.
- m কে n দ্বারা ভাগ করলে A এর সম্ভাবনা P(A) এর মান পাওয়া যাবে। কোনো একটি ঘটনা A এর সম্ভাবনা P(A)কে p দ্বারা সূচিত করলে
সম্ভাবনার প্রাচীন সংজ্ঞার সীমাবদ্ধতা ( Limitation of the classical Definition of Probability )
আপাতদৃষ্টিতে সম্ভাবনার প্রাচীন সংজ্ঞা খুব সহজ ও সরল মনে হলেও এর নিম্নলিখিত কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ ত্রূটি আছে :
- সম্ভাবনার প্রাচীন সংজ্ঞা সহজ জ্ঞানের উপর প্রতিষ্ঠিত। কিন্তু এই সহজ জ্ঞান জিনিসটা ঠিক পরিষ্কার নয়, কারণ সকল ব্যাক্তির সহজ জ্ঞান যে একই না হতে পারে।
- সম্ভাবনার এই সংজ্ঞায় নমুনা দেশের বিন্দু গুলি সমভাবে সম্ভাব্য ধরে নেওয়া হয়। সুতরাং স্পষ্টতই সম্ভাবনার সংজ্ঞা আগে থেকে ধারণার উপর ভিত্তি করে প্রতিষ্ঠিত হয়েছে।
- এই সংজ্ঞায় শুধু সসীম সংখ্যক নমুনা বিন্দুর কথা বলেছে ,তার মানে অসীম সংখ্যক নমুনা বিন্দুর ক্ষেত্রে প্রযোজ্য এই সংজ্ঞা প্রয়োগ করা যাবেনা।
- যদি নমুনা দেশে অসমঞ্জস ( Unsymmetrical ) বা সমভাবে সম্ভব নহে এইরূপ নমুনা বিন্দু থাকে তাহলে এই সংজ্ঞা সেক্ষেত্রে প্রযোজ্য হবেনা।
- এই সংজ্ঞা কেবল কয়েকটি সীমিত উদাহরণের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।
পরিসংখ্যানীয় নিয়মানুবর্তিতা ( Statistical Regularity )
মনে করি শর্তাধীন একটি সমসম্ভব পরীক্ষা E ,n বার করা হয় ;এই পরীক্ষার সঙ্গে সম্পর্কিত একটি ঘটনা A যদি n(A) বার ঘটে ,তবে n(A) কে A ঘটনার পরিসংখ্যা এবং [tex]\frac{{n\left( A \right)}}{n}[/tex] অনুপাতটিকে A ঘটনার আপেক্ষিক পরিসংখ্যা অথবা পরিসংখ্যা অনুপাত ( Relative frequency or Frequency ratio ) বলা হয় , উহা f(A) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। পরিসংখ্যার অনুপাত f(A)র মান ক্রমশ stable হবে যখন n এর মান সীমাহীনভাবে বৃদ্ধি পাবে। এই শর্তাধীনে পরীক্ষা বা পর্যবেক্ষণ সংখ্যার মান বৃদ্ধির সঙ্গে পরিসংখ্যা অনুপাতের মানের এরূপ সম্পর্ককে পরিসংখ্যানীয় নিয়মানুবর্তিতা ( Statistical Regularity ) বলে। সুতরাং [tex]f\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{n}[/tex]
সম্ভাবনার পরিসংখ্যা বা প্রায়োগিক সংজ্ঞা ( Frequency or Empirical Definition of Probability )
যদি একই শর্তাধীনে একটি সম্ভাব্য পরীক্ষা n বার পুনরাবৃত হয় এবং ওই পরীক্ষার সঙ্গে সম্পর্কিত কোনো ঘটনা যদি n(A) বার ঘটে ,তবে [tex]f\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{n}[/tex] অনুপাতটিকে A ঘটনার পরিসংখ্যার অনুপাত বলা হয় এবং তা f(A) প্রতীক দ্বারা সূচিত হয়। n এর মান সীমাহীন ভাবে বৃদ্ধি পেলে f(A) এর নির্দিষ্ট সসীম মান পাওয়া যায় বলে মনে করা হয়। ওই সীমাস্থ মানকে A ঘটনার সম্ভাবনা বলা হয় এবং উহাকে P(A) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। সুতরাং প্রতীকের সাহায্যে
[tex]P\left( A \right) = {\lim _{n \to \infty }}f\left( A \right) = {\lim _{n \to \infty }}\frac{{n\left( A \right)}}{n}[/tex]
প্রতীকসমূহ ( Notation )
মনে করা যাক E সমসম্ভব পরীক্ষার নমুনা দেশ S এবং E পরীক্ষার সঙ্গে সম্পর্কিত A ও B দুটি ঘটনা , তাহলে
- P(A) প্রতীক দিয়ে A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা নির্দেশিত হয়।
- [tex]P\left( {{A^c}} \right)\left[ {orP\left( {A'} \right)orP\left( {\bar A} \right)} \right][/tex] প্রতীক দিয়ে A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা নির্দেশিত হয়।
- P(A U B) বা P (A + B) প্রতীক দিয়ে A ও B ঘটনা দুটির কমপক্ষে একটি ঘটার সম্ভাবনা অর্থাৎ A অথবা B কিংবা A ও B দুটি ঘটার সম্ভাবনা প্রকাশিত হয়।
- [tex]P\left( {A \cap B} \right)[/tex] বা P (A - B) প্রতীক দিয়ে A ও B ঘটনা দুটির একটি ঘটনা ঘটার অর্থাৎ হয় A না হলে B ঘটার সম্ভাবনা প্রকাশিত হয়।
- P(A /B) প্রতীক দিয়ে A ঘটার শর্তযুক্ত সম্ভাবনা ( Conditional Probability ) প্রকাশিত হয় যখন এটি জানা আছে B ঘটেছে।
- [tex]P\left( {A/{B^c}} \right)[/tex] প্রতীক দিয়ে A ঘটনা ঘটার শর্তযুক্ত সম্ভাবনা প্রকাশিত হয় যখন এটি জানা আছে যে B ঘটনা ঘটেনি।
সম্ভাবনার সমষ্টি বিষয়ক উপপাদ্য ( বা সম্ভাবনার যোগসূত্র ) [ Theorem of total Probability ( or Additive law of Probability )]
উপপাদ্য :- পরস্পর পৃথক n সংখ্যক ঘটনা [tex]{A_1},{A_2},{A_3},.........{A_n}[/tex] এর যেকোনো ঘটার সম্ভাবনা মান , প্রত্যেকটি ঘটনা পৃথকভাবে ঘটার সম্ভাবনাসমূহের সমষ্টির সমান। প্রতীকের সাহায্যে
[tex]P\left( {{A_1} \cup {A_2} \cup .......... \cup {A_n}} \right) = P\left( {{A_1}} \right) + P\left( {{A_2}} \right) + ............... + P\left( {{A_n}} \right)[/tex]
গাণিতিক সম্ভাবনার স্বতঃসিদ্ধসমূহ ( Axioms of Mathematical Probability )
মনে করা যাক E সমসম্ভব পরীক্ষার নমুনা দেশ S এবং E পরীক্ষার সঙ্গে সম্পর্কিত যেকোনো ঘটনা A অর্থাৎ [tex]A \subseteq S[/tex] . A ঘটনার সঙ্গে সম্পর্কিত একটি বাস্তব ঘটনা P(A) কে A ঘটনার সম্ভাবনা বলা হবে যদি নিম্নলিখিত স্বতঃসিদ্ধসমূহ সিদ্ধ হয়
- যে কোনো ঘটনা A এর ক্ষেত্রে [tex]P\left( A \right) \ge 0[/tex]
- নিশ্চিত ঘটনা S এর ক্ষেত্রে P(S) = 1
- যদি [tex]{A_1},{A_2},{A_3},...............[/tex] সসীম বা অসীম সংখ্যক পরস্পর পৃথক ঘটনা হয় , তবে
[tex]P\left( {{A_1} \cup {A_2} \cup {A_3} \cup ...............} \right) = P\left( {{A_1}} \right) + P\left( {{A_2}} \right) + P\left( {{A_3}} \right) + ....................[/tex]
উপপাদ্য :- E সমসম্ভব পরীক্ষার সঙ্গে সম্পর্কিত A ও B যেকোনো দুটি ঘটনা হলে ,A ও B ঘটনা দুটি একসাথে ঘটার সম্ভাবনা ,A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা এবং B ঘটনা ঘটার শর্তযুক্ত সম্ভাবনা ( যখন A ঘটনা ঘটেছে ) গুণফলের সমান হবে। প্রতীকের সাহায্যে
[tex]P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right)P\left( {B/A} \right)[/tex]
স্বাধীন ও অধীন ঘটনা ( Independent and Dependent Events )
E সমসম্ভব পরীক্ষার সঙ্গে সম্পর্কিত দুটি ঘটনা হল A এবং B . A এবং B কে স্বাধীন বলা হবে যখন [tex]P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right)P\left( B \right)[/tex] হয়।
যদি A এবং B ঘটনা দুটির ক্ষেত্রে [tex]P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right)P\left( B \right)[/tex] এই সম্পর্ক সিদ্ধ না হয় , তবে A এবং B ঘটনা দুটিকে পরস্পরের অধীন ঘটনা বলে।
সংক্ষিপ্তকরণ --
মনে করা যাক , E সমসম্ভব (random) পরীক্ষার নমুনা দেশ (sample space) S এবং S নমুনা দেশে সমভাবে সম্ভাব্য n(S) সংখ্যক নমুনা বিন্দু আছে । যদি E পরীক্ষার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট কোনো ঘটনা A হয় , তবে
(1) P(A) প্রতীক দিয়ে A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা সূচিত হয় এবং সম্ভাবনার প্রাচীন সংজ্ঞানুযায়ী ,
[tex] P(A) = \frac{{m(A)}}{{n(S)}}[/tex] [tex]m(A)[/tex]= A ঘটনার অন্তর্গত নমুনা বিন্দুর সংখ্যা এবং [tex]n(S)[/tex]= S নমুনা দেশের অন্তর্গত সসীম সংখ্যাক নমুনা বিন্দুর সংখ্যা |
(2) [tex]{\rm{ P(S) = 1}}[/tex] অর্থাৎ, নিশ্চিত ঘটনার (sure event ) সম্ভাবনা = 1
(3) [tex]{\rm{P(}}\emptyset ) = 0[/tex] অর্থাৎ , অসম্ভব ঘটনার (impossible event) সম্ভাবনা = 0
(4) [tex]0 \le P(A) \le 1[/tex]
(5) A ঘটনার পূরক ঘটনা [tex]{A^c}[/tex] (বা [tex]{A'}[/tex] অথবা [tex]{\bar A}[/tex] ) হলে , [tex]P({A^c}) = 1 - P(A)[/tex]
অর্থাৎ, A ঘটনা না ঘটার সম্ভাবনা = 1 - A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা ।
(6 ) A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা [tex]\frac{m}{n}[/tex] হলে , [tex]m:(n - m)[/tex] অনুপাতকে A ঘটনার অনুকূলে সুযোগ (odds in favour of the event A) এবং [tex](n - m):m[/tex] অনুপাতকে A ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ (odds against the event A ) বলা হয় ।
(7) E পরীক্ষার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট দুটি ঘটনা A ও B হলে ,
(1) [tex]A \cup B[/tex] ( বা , A + B )-এর সাহায্যে A ও B ঘটনা দুটির মধ্যে কমপক্ষে একটি ঘটার ঘটনা এবং [tex]P(A \cup B)[/tex] (বা, P(A + B) )-এর সাহায্যে ঘটনা দুটির কমপক্ষে একটি ঘটার সম্ভাবনা সূচিত হয় ।
(2) [tex]A \cap B[/tex] (বা, AB )-এর সাহায্যে A ও B ঘটনা দুটির একযোগে ঘটার ঘটনা এবং [tex]P(A \cap B)[/tex] বা, P(AB)]-এর সাহায্যে ঘটনা দুটির একযোগে ঘটার সম্ভাবনা সূচিত হয় । যদি [tex]P(A \cap B)[/tex] = 0 হয় , তবে বুঝতে হবে A ও B ঘটনা দুটি পরস্পর পৃথক ।
(8) যদি E পরীক্ষার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট n -সংখ্যক ঘটনা [tex]{A_1},{A_2}, \cdots ,{A_n}[/tex] পরস্পর পৃথক (mutually exclusive) হয় ,তবে
[tex]P({A_1} \cup {A_2} \cup \cdots \cup {A_n}) = P({A_1}) + P({A_2}) + \cdots + P({A_n})[/tex] হবে ।
(9) যদি n- সংখ্যক পরস্পর পৃথক ঘটনা সম্পূর্ণ (exhaustive) হয় ,তবে
[tex]P({A_1} \cup {A_2} \cup \cdots \cup {A_n}) = 1[/tex] বা, [tex]P({A_1}) + P({A_2}) + \cdots + P({A_n}) = 1[/tex] হবে ।
(10) n -সংখ্যক ঘটনা [tex]{A_1},{A_2}, \cdots ,{A_n}[/tex] -এর কমপক্ষে একটি ঘটার সম্ভাবনা [tex]P({A_1} \cup {A_2} \cup \cdots \cup {A_n})[/tex] প্রতীকের সাহায্যে প্রকাশ করা হয় এবং
[tex]P({A_1} \cup {A_2} \cup \cdots \cup {A_n}) = 1 - P\left( {A_1^c \cap A_2^c \cap \cdots A_n^c} \right)[/tex]
অর্থাৎ, কমপক্ষে একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা = 1 - প্রদত্ত ঘটনাগুলির মধ্যে কোনো ঘটনা না ঘটার সম্ভাবনা ।
(11) (1) E পরীক্ষার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট দুটি ঘটনা A ও B পরস্পর পৃথক না হলে ,
[tex]P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)[/tex] হবে ;
(2) E পরীক্ষার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট তিনটি ঘটনা A ,B ও C পরস্পর পৃথক না হলে ,
[tex]P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(B \cap C) - P(C \cap A) + P(A \cap B \cap C)[/tex] হবে ।
(12) P(B/A) প্রতীকের সাহায্যে B ঘটনার শর্তযুক্ত সম্ভাবনা প্রকাশিত হয় যখন জানা আছে যে , A ঘটনা আগেই ঘটেছে । শর্তযুক্ত সম্ভাবনার উপপাদ্য থেকে পাওয়া যায় ,
[tex]P(B/A) = \frac{{P(A \cap B)}}{{P(A)}}; P(A/B) = \frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}}[/tex]
(13) [tex]P(A \cap B) = P(A)P(B/A) = P(B)P(A/B)[/tex] সম্পর্কটিকে সম্ভাবনার গুণন নিয়ম (multiplicative rule) বলা হয় ।
A, B ও C তিনটি ঘটনার ক্ষেত্রে , [tex]P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B/A)P(C/A \cap B)[/tex]
(14) দুটি ঘটনা A ও B -কে স্বাধীন বলা হয়, যদি
(1) [tex]P(A) = P(A/B) = P(A/{B^c})[/tex]
অথবা, (2) [tex]P(B) = P(B/A) = P(B/{A^c})[/tex]
অথবা, (3) [tex]P(A \cap B) = P(A)P(B)[/tex] হয় ।
তিনটি শর্তের মধ্যে (iii) শর্তটি A ও B -এর স্বাধীন হওয়ার সাধারণ শর্ত । n -সংখ্যাক ঘটনা [tex]{A_1},{A_2}, \cdots {A_n}[/tex] স্বাধীন হবে , যদি
[tex]P({A_1} \cap {A_2} \cap \cdots \cap {A_n}) = P({A_1}) \cdot P({A_2}) \cdots P({A_n})[/tex] হয় ।
(15) তিনটি ঘটনা A, B এবং C পরস্পর স্বাধীন (mutually independent) হবে, যদি
[tex]P(A \cap B) = P(A)P(B); P(B \cap C) = P(B)P(C); P(C \cap A) = P(C)P(A)[/tex] এবং [tex]P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)[/tex] শর্তসমূহ সিদ্ধ হয় ।
