2013
MATHEMATICS
(Compulsory)
Time—Three Hours Fifteen Minutes
(First FIFTEEN minutes for reading the question paper)
Full Marks 90 — For Regular Candidates
Full Marks 100 — For External Candidates
( দ্বিভাজিত পাঠ্যসূচী )
(Bifurcated Syllabus)
[ "প্রথম অংশ" -এর প্রশ্নগুলির উত্তর প্রশ্নসংখ্যা লিখে ক্রমানুযায়ী উত্তরপত্রের প্রথম দিকে লিখতে হবে । এর জন্য প্রয়োজনবোধে গণনা ও চিত্র অঙ্কন উত্তরপত্রের ডান দিকে মার্জিন টেনে করতে হবে । কোনো প্রকার সারণি বা গণকযন্ত্র ব্যবহার করা যাবে না । গণনার প্রয়োজনে [tex] \pi [/tex] এর আসন্ন মান [tex]{22 \over 7}[/tex] ধরে নিতে হবে । দরকার মতো গ্রাফ পেপার দেওয়া হবে ।]
(দৃষ্টিহীন পরীক্ষার্থীদের জন্য 7 নং ও 13 নং প্রশ্নের বিকল্প 8 নং পৃষ্ঠায় দেওয়া আছে ।)
[বহিরাগত পরীক্ষার্থীদের জন্য অতিরিক্ত (প্রশ্ন নং 18) 8 নং এবং 9 নং পৃষ্ঠায় দেওয়া আছে । ]
প্রথম অংশ
এই অংশের সব প্রশ্নের উত্তর উত্তরপত্রের প্রথম দিকে করতে হবে ।
1. সব প্রশ্নের উত্তর দাও :
(i) ক্রয়মূল্য ও বিক্রয়মূল্যের অনুপাত 5 : 4 হলে , ক্ষতির শতকরা হার কত ? 1
(ii) (1 - x)2 + y2 = 0 হলে (x + y) = কত ? [x, y বাস্তব সংখ্যা ] 1
(iii) (x2 - 20x - a) রাশিমালাটি পূর্ণবর্গ হবে যখন a -এর মান হবে
(a) 100 অথবা , (b) -100 অথবা , (c) 0 অথবা, (d) 80. [সঠিক উত্তরটি লেখ ] 1
(iv) বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ 75° হলে এর বিপরীত কোণটির মান কত ? 1
(v) (4, -3) বিন্দুটি কোন পাদে অবস্থিত ? 1
(vi) (cos2 20° + cos2 70°) এর মান কত ? 1
2. সব প্রশ্নের উত্তর দাও :
(i) 7 জন ছেলের বয়সের গড় 7 বছর । অন্য একজন ছেলে তাদের সঙ্গে যোগ দেওয়ায় 8 জন ছেলের বয়সের গড় দাঁড়ালো 8 বছর । নতুন ছেলেটির বয়স কত ? 2
(ii) A এর 75% = B এর 40% হলে (A : B) নির্ণয় করো ? 2
(iii) [tex]x + {9 \over x} = 6[/tex] হলে x2 -এর সাংখ্যমান নির্ণয় করো । 2
(iv) (2x - 2) ≥ (3x + 5) অসমীকরণটি থেকে x -এর সর্বোচ্চ মান নির্ণয় করো । 2
(v) ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ । ত্রিভুজটির BC বাহুকে D পর্যন্ত এমনভাবে বাড়ানো হল যাতে CD = AB হয় । [tex] \angle BAD[/tex] এর পরিমাপ কত ? 2
(vi) ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের AB বাহুটি বৃত্তটির ব্যাস । [tex] \angle ACD[/tex] = 50° হলে [tex] \angle BAD[/tex] এর মান নির্ণয় করো । 2
(vii) sin 3x = 1 হলে tan 2x -এর মান কত ? 2
দ্বিতীয় অংশ
3. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও (বীজগাণিতিক পদ্ধতিতে উত্তর দেওয়া যাবে ):- 2x5=10
(a) 60 লিটার পরিমাণ ডেটল ও জলের মিশ্রণে 80% জল । এই মিশ্রণে কী পরিমাণ ডেটল মেশালে নতুন মিশ্রণে জলের পরিমাণ 75% হবে ?
(b) কয়লার দাম 25% বৃদ্ধি পেয়েছে । একটি পরিবার যদি মাসিক কয়লার খরচ অপরিবর্তিত রাখতে চান তাহলে কয়লার ব্যবহার শতকরা কত হ্রাস করতে হবে ?
(c) বিমলবাবু এক ব্যক্তিকে বার্ষিক 8% সরল সুদে কিছু পরিমাণ টাকা 4 বছরের জন্য এবং অপর এক ব্যক্তিকে তার দ্বিগুণ পরিমাণ টাকা বার্ষিক 10% সরল সুদে একই সময়ের জন্য ঋণ দিলেন । বিমলবাবু দ্বিতীয় ব্যক্তির কাছ থেকে প্রথম ব্যক্তি অপেক্ষা 960 টাকা বেশি সুদ পেলেন । বিমলবাবু মোট কত টাকা ঋণ দিয়েছিলেন ?
(d) 5,000 টাকার 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ 408 টাকা হলে, বার্ষিক সুদের হার কত ?
4. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 4
(a) ল.সা.গু. নির্ণয় করো :
3a2 -5ab - 12b2 ; a5 - 27a2b3 ; 9a2 + 24ab + 16b2 .
(b) গ.সা.গু. নির্ণয় করো :
x3 - 4x ; 4x2 - 20x + 24 ; x2 - 4x + 4.
5. সমাধান করো (যে কোনো একটি ): 3
(a) x - 2y = 24 ; x - 8y = 48
[অপনয়ন অথবা বজ্রগুণন পদ্ধতির সাহায্যে]
(b) [tex]{1 \over x} - {1 \over 3} = {1 \over {x + 2}} - {1 \over 5}[/tex] .
6. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 4
(a) একটি বাগানে সারিবদ্ধ ভাবে চারাগাছ লাগানো হয়েছে । প্রত্যেক সারিতে যতগুলি চারাগাছ আছে মোট সারির সংখ্যা তার থেকে 5 বেশি । যদি মোট 336 টি চারাগাছ লাগানো হয়ে থাকে তবে প্রত্যেক সারিতে কয়টি করে চারাগাছ লাগানো হয়েছে ?
(b) দুটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার গুণফল 783 হলে সংখ্যা দুটি নির্ণয় করো ।
7. নীচের অসমীকরণগুলির লেখচিত্র আঁকো এবং সমাধান অঞ্চল নির্দেশ করো (যে কোনো একটি ) : 4
(a) x ≥ 0 ; y ≥ 0 এবং 2x + 3y ≤ 12
(b) x + y ≤ 5 এবং x + y ≥ -5 .
8. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 3
(a) a : b = b : c হলে দেখাও যে (a + b)2 : (b + c)2 = a : c.
(b) যদি a2 = by + cz, b2 = cz + ax, c2 = ax + by হয় , তবে দেখাও যে
[tex]{x \over {a + x}} + {y \over {b + y}} + {z \over {c + z}} = 1[/tex] .
9. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 3
(a) y , x -এর বর্গের সাথে সরলভেদে আছে এবং y = 9 যখন x = 9 ; y = 4 হলে x -এর মান কত ?
(b) যদি [tex](a + b) \propto \sqrt {ab} [/tex] হয় , তবে দেখাও যে
[tex] \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) \propto \left( {\sqrt {a - } \sqrt b } \right)[/tex]
10. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 3
(a) [tex]x = 3 + \sqrt 3 [/tex] এবং xy = 6 হলে (x + y)2 -এর মান নির্ণয় করো ।
(b) [tex]\left[ {{{\sqrt 2 (2 + \sqrt 3 )} \over {\sqrt 3 (\sqrt 3 + 1)}} - {{\sqrt 2 (2 - \sqrt 3 } \over {\sqrt 3 (\sqrt 3 - 1)}}} \right][/tex] -এর সরলতম মান কত ?
11. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 2x5=10
(a) প্রমাণ করো, কোনো বৃত্তের একই বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ হবে ।
(b) প্রমাণ করো, কোনো সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রগুলির ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হবে ।
(c) প্রমাণ করো, বৃত্তের কোনো বিন্দুতে স্পর্শক ও ঐ স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ পরস্পর লম্বভাবে অবস্থিত ।
12. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 3
(a) দুটি এককেন্দ্রীয় বৃত্তের বৃহত্তরটির AB এবং AC জ্যাদ্বয় অন্য বৃত্তটিকে যথাক্রমে P এবং Q বিন্দুতে স্পর্শ করেছে । প্রমাণ কারো, [tex]PQ = {1 \over 2}BC[/tex] .
(b) PQR একটি ত্রিভুজ । PQ -এর মধ্যবিন্দু X দিয়ে আঁকা QR বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা PR বাহুকে Y বিন্দুতে ছেদ করে । প্রমাণ করো Y বিন্দুটি PR -এর মধ্যবিন্দু ।
13. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 5
(a) 4 সেমি দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট AB সরলরেখাংশ অঙ্কন করো । A এবং B -কে কেন্দ্র করে 2 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত অঙ্কন করে তাদের যে কোনো একটি সরল সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করো ।
(b) 7 সেমি বাহুবিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করো । তারপর ঐ ত্রিভুজটির অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন করো ।
14. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 3
(a) কোনো লম্ব প্রিজমের ভূমি একটি ত্রিভুজ যার বাহুগুলি 12 সেমি, 16 সেমি, 20 সেমি । প্রিজমটির আয়তন 1152 ঘন সেমি হলে প্রিজমটির উচ্চতা কত ?
(b) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর বক্রতলের ক্ষেত্রফল তার ভূমির ক্ষেত্রফলের [tex]\sqrt {10}[/tex] গুণ । দেখাও, শঙ্কুটির উচ্চতা এর ভূমির ব্যাসার্ধের তিনগুণ ।
15. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 4
(a) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 1320 বর্গসেমি । চোঙটির ভূমির ব্যাস 14 সেমি হলে এর উচ্চতা নির্ণয় করো ।
(b) একটি পিরামিডের ভূমি একটি আয়তক্ষেত্র যার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 12 মিটার ও 9 মিটার এবং এর তির্যক প্রান্তিকীর দৈর্ঘ্য 8.5 মিটার । পিরামিডটির আয়তন নির্ণয় করো ।
16. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 2x3=6
(a) 52° 52' 30" -এর বৃত্তীয় মান নির্ণয় করো ।
(b) [tex]5{\sin ^2}\theta + 4{\cos ^2}\theta = {9 \over 2}[/tex] , সম্পর্কটি থেকে tan [tex]\theta [/tex] -এর মান নির্ণয় করো, যেখানে [tex]{0^ \circ } < \theta < {90^ \circ }[/tex].
(c) [tex]x = {\sin ^2}{30^ \circ } + 4{\cot ^2}{45^ \circ } - {\sec ^2}{60^ \circ }[/tex] হলে , x -এর মান নির্ণয় করো ।
(d) tan α = cot ß হলে cos(α + ß) -এর মান নির্ণয় করো, যেখানে 0° < α , ß < 90° .
17. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 5
(a) একটি বাড়ির ছাদ থেকে একটি ল্যাম্পপোষ্টের চূড়া ও পাদবিন্দুর অবনতি কোণ যথাক্রমে 30° ও 60° ; বাড়ি ও ল্যাম্পপোষ্টের উচ্চতার অনুপাত নির্ণয় করো ।
(b) দুটি স্তম্ভের উচ্চতার অনুপাত 1 : 3 । ক্ষুদ্রতর স্তম্ভটির পাদবিন্দু থেকে বৃহত্তর স্তম্ভটির চূড়ার উন্নতি কোণ 60° হলে বৃহত্তর স্তম্ভটির পাদবিন্দু থেকে ক্ষুদ্রতর স্তম্ভটির চূড়ার উন্নতি কোণ কত হবে. তা নির্ণয় করো ।
[ দৃষ্টিহীন পরীক্ষার্থীদের জন্য বিকল্প প্রশ্ন ]
7. 2x + 3 ≤ 12 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; এই অসমীকরণগুলির সমাধান অঞ্চলের পাঁচটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক উল্লেখ করো । 4
13. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 5
(a) কোনো বৃত্তের উপর অবস্থিত একটি বিন্দুতে স্পর্শক অঙ্কন প্রণালী বর্ণনা করো ।
(b) জ্যামিতিক উপায়ে [tex] \sqrt 21[/tex] নির্ণয় করার অঙ্কন প্রণালী বর্ণনা করো ।
[ বহিরাগত পরীক্ষার্থীদের জন্য অতিরিক্ত প্রশ্ন ]
18. সব প্রশ্নের উত্তর দাও :
(i) বার্ষিক 9% সরল সুদে 3,000 টাকার 2 বছরের সুদ কত ? 2
(ii) একটি বিন্দু P -এর স্থানাঙ্ক (5, 12) হলে মূল বিন্দু থেকে P -বিন্দুটির দুরত্ব নির্ণয় করো । 2
(iii) সরল করো :
[tex]\left( {{{a + b} \over {{a^2} - ab + {b^2}}}} \right) \div \left( {{{{{(a + b)}^2}} \over {{a^3} + {b^3}}}} \right)[/tex] 2
(iv) ABCD এমন একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ যার [tex] \angle A [/tex] = 75° এবং [tex] \angle B [/tex] = 105° ; [tex] \angle C[/tex] এবং [tex] \angle D [/tex] -এর মান নির্ণয় করো । 2
(v) sec 45° -এর মান কত ? 1
(vi) 36 বর্গ সেমি ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো । 1
***
